Question

已知a∈R，若實(shí)數(shù)x，y滿足y=-x²+3lnx，則（a-x）²+（a+2-y）²的最小值是

 

．

Answer 1

分析：由x=a，y=a+2，可得y=x+2，即點(diǎn)在直線上動(dòng)，求（a-x）²+（a+2-y）²的最小值，就是求y=-x²+3lnx上的點(diǎn)到直線距離的最小值．

解答：解：由題意，由x=a，y=a+2，可得y=x+2，即點(diǎn)在直線上動(dòng)，
∴求（a-x）²+（a+2-y）²的最小值，就是求y=-x²+3lnx上的點(diǎn)到直線距離的最小值．
設(shè)平行于y=x+2，與y=-x²+3lnx相切的切點(diǎn)坐標(biāo)為（a，b）（a＞0），則
∵y=-x²+3lnx，
∴y′=-2x+

3

x

，
∴由-2a+

3

a

=1，可得a=-

3

2

（舍去）或a=1，
∴切點(diǎn)為（1，-1），
∴切點(diǎn)到y(tǒng)=x+2的距離為

|1+1+2|

2

=2

2

．
∴（a-x）²+（a+2-y）²的最小值是2

2

．
故答案為：2

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，點(diǎn)到直線的距離公式等式知識(shí)的靈活應(yīng)用，屬于難題．