Question

如圖，在四棱錐O﹣ABCD中，底面ABCD四邊長為1的菱形，∠ABC=，OA⊥底面ABCD，OA=2，M為OA的中點，N為BC的中點．
（Ⅰ）證明：直線MN∥平面OCD；
（Ⅱ）求異面直線AB與MD所成角的大小；
（Ⅲ）求二面角A﹣OD﹣C的余弦值．

Answer 1

（Ⅰ）證明：取OB中點E，連接ME，NE
∵M(jìn)E∥AB，AB∥CD，
∴ME∥CD
又∵NE∥OC，
∴平面MNE∥平面OCD
∵M(jìn)N平面MNE
∴MN∥平面OCD
（Ⅱ）解：∵CP∥AB
∴∠MDC為異面直線AB與MD所成的角（或其補(bǔ)角）
作AP⊥CD于P，連接MP
∵OA⊥平面ABCD，CD⊥MP，
∵∠ADP= ，
∴DP= ，MD= ，
 ∴AB與MD所成角的大小為 
（Ⅲ）解：分別以AB，AP，AO所在直線為x，y，z軸建立坐標(biāo)系，
則A（0，0，0），O（0，0，2），D（ ， ，0），P（0 ，0），
∴ =（0 ，﹣2）， =（ ， ，﹣2）， =（0，0，2），
設(shè)平面OCD的法向量為 ，則 ? =0，
  ∴ ， y﹣2z=0
取z= ，解得 =（0，4， ）
設(shè)平面OAD的法向量為 ，則 ? =0， =0
∴2z′=0， y′﹣2z′=0 取y′=1，則x′=1，
∴ 
∴二面角A﹣OD﹣C的余弦值為 = =