已知函數(shù)
(Ⅰ)當(dāng)時,求函數(shù)
的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)若,對定義域內(nèi)任意x,均有
恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍?
(Ⅲ)證明:對任意的正整數(shù),
恒成立。
(Ⅰ)在
;(Ⅱ)
;(Ⅲ)詳見解析.
【解析】
試題分析:(Ⅰ)當(dāng)時,求函數(shù)
的單調(diào)區(qū)間,首先確定定義域
,可通過單調(diào)性的定義,或求導(dǎo)確定單調(diào)區(qū)間,由于
,含有對數(shù)函數(shù),可通過求導(dǎo)來確定單調(diào)區(qū)間,對函數(shù)
求導(dǎo)得
,由此令
,
,解出
就能求出函數(shù)
的單調(diào)區(qū)間;(Ⅱ)若
,對定義域內(nèi)任意
,均有
恒成立,求實(shí)數(shù)
的取值范圍,而
,對定義域內(nèi)任意
,均有
恒成立,屬于恒成立問題,解這一類題,常常采用含有參數(shù)
的放到不等式的一邊,不含參數(shù)
(即含
)的放到不等式的另一邊,轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題,但此題用此法比較麻煩,可考慮求其最小值,讓最小值大于等于零即可,因此對函數(shù)
求導(dǎo),利用導(dǎo)數(shù)確定最小值,從而求出
的取值范圍;(Ⅲ)由(Ⅱ)知,當(dāng)
時,
,當(dāng)且僅當(dāng)
時,等號成立,這個不等式等價于
,即
,由此對任意的正整數(shù)
,不等式
恒成立.
試題解析:(Ⅰ)定義域?yàn)椋?,+∞),,
,所以
在
(4分)
(Ⅱ),當(dāng)
時,
在
上遞減,在
上遞增,
,當(dāng)
時,
不可能成立,綜上
;(9分)
(Ⅲ)令,
相加得到
得證。(14分)
考點(diǎn):函數(shù)與導(dǎo)數(shù),函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,函數(shù)與不等式.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
(江西卷理22)已知函數(shù),
.
.當(dāng)
時,求
的單調(diào)區(qū)間;
.對任意正數(shù)
,證明:
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2011屆陜西省師大附中、西工大附中高三第七次聯(lián)考理數(shù) 題型:解答題
(本題13分)
已知函數(shù).
(1)當(dāng)時,求
的單調(diào)區(qū)間;
(2)若在
單調(diào)增加,在
單調(diào)減少,證明:
<6.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2014屆河南省高二下學(xué)期第一次階段測試文科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題
已知函數(shù)
(1)當(dāng)時,求
的解集
(2)若關(guān)于的不等式
的解集是
,求
的取值范圍
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2013屆江西省高二下學(xué)期期中考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題
已知函數(shù).
(Ⅰ)當(dāng)時,求
的極小值;
(Ⅱ)若直線對任意的
都不是曲線
的切線,求
的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2010-2011學(xué)年廣東省梅州市高三年級10月月考文科數(shù)學(xué)試卷 題型:解答題
(滿分14分)已知函數(shù)
(1)當(dāng)時,求曲線
在點(diǎn)
處的切線方程;
(2)當(dāng)時,討論
的單調(diào)性
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