Question

已知函數(shù)

（Ⅰ）當時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;

（Ⅱ）若，對定義域內(nèi)任意x,均有恒成立，求實數(shù)a的取值范圍？

（Ⅲ）證明：對任意的正整數(shù)，恒成立。

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）在；（Ⅱ）；（Ⅲ）詳見解析．

【解析】

試題分析：（Ⅰ）當時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，首先確定定義域，可通過單調(diào)性的定義，或求導確定單調(diào)區(qū)間，由于，含有對數(shù)函數(shù)，可通過求導來確定單調(diào)區(qū)間，對函數(shù)求導得，由此令，，解出就能求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）若，對定義域內(nèi)任意,均有恒成立，求實數(shù)的取值范圍，而，對定義域內(nèi)任意,均有恒成立，屬于恒成立問題，解這一類題，常常采用含有參數(shù)的放到不等式的一邊，不含參數(shù)（即含）的放到不等式的另一邊，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題，但此題用此法比較麻煩，可考慮求其最小值，讓最小值大于等于零即可，因此對函數(shù)求導，利用導數(shù)確定最小值，從而求出的取值范圍；（Ⅲ）由（Ⅱ）知，當時，，當且僅當時，等號成立，這個不等式等價于，即，由此對任意的正整數(shù)，不等式恒成立．

試題解析：（Ⅰ）定義域為（0，+∞），，，所以在（4分）

（Ⅱ），當時，在上遞減，在上遞增，，當時，　不可能成立，綜上；（9分）

（Ⅲ）令，相加得到

得證。（14分）

考點：函數(shù)與導數(shù)，函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，函數(shù)與不等式．