Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的長軸長是短軸長的

3

倍，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂是它的左，右焦點．
（1）若P∈C，且

PF1

•

PF

2=0，|PF₁|•|PF₂|=4，求橢圓C的方程；
（2）在（1）的條件下，過動點Q作以F₂為圓心、以1為半徑的圓的切線QM（M是切點），且使QF₁|=

2

|QM|，，求動點Q的軌跡方程．

Answer 1

分析：（1） 利用a=

3

b 和|PF₁|²+|PF₂|²=（2c）²，以及|PF₁|+|PF₂|=2a 求出a²和b²的值，解得橢圓C的方程．
（2）由條件可得|QF₁|²=2|QM|²，再由QM是⊙F₂的切線 可得|QM|²=|QF₂|²-1，故有|QF₁|²=2（|QF₂|²-1）．
設Q（x，y），代入上式化簡即得動點Q的軌跡方程．

解答：解：（1）依題意知a=

3

b①，
∵

PF1

•

PF2

=0，∴PF₁⊥PF₂，∴|PF₁|²+|PF₂|²=（2c）²=4（a²-b²）=8b²，
又P∈C，由橢圓定義可知|PF₁|+|PF₂|=2a，（|PF₁|+|PF₂|）²=8b²+8=4a²--②，
由①②得a²=6，b²=2．所以橢圓C的方程為

x2

6

+

y2

2

=1．
（2）由（1）得c=2．∴F₁（-2，0）、F₂（2，0）
由已知|QF1|=

2

|QM|，即|QF₁|²=2|QM|²，
∵QM是⊙F₂的切線，∴|QM|²=|QF₂|²-1，∴|QF₁|²=2（|QF₂|²-1）．
設Q（x，y），則（x+2）²+y²=2[（x-2）²+y²-1]，
即（x-6）²+y²=34（或x²+y²-12x+2=0），
綜上所述，所求動點Q的軌跡方程為：（x-6）²+y²=34．

點評：本題考查橢圓的定義、橢圓的標準方程，以及橢圓的簡單性質(zhì)的應用，其中，由條件得出|QF₁|²=2（|QF₂|²-1），
是解題的關鍵，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想．