Question

已知圓方程x²+y²-2ax-4ay+5a²-4=0（a∈R）．
（1）求圓的半徑，圓心坐標并求出圓心坐標所滿足的直線方程；
（2）試問：是否存在直線l，使對任意a∈R，直線l被圓截得的弦長均為2，若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據題意可得圓的標準方程為（x-a）²+（y-2a）²=4，即可得到半徑與圓心坐標，進而得到圓心所在的直線方程．
（2）根據題意可得：所求直線必須平行于直線y=2x，所以設所求直線的方程為y=2x+b，再根據半弦長、半徑與弦心距的關系為(

AB

2

)2+d2=r2，可得圓心到直線的距離，進而結合點到直線的距離公式計算出b的數值，得到答案．

解答：解：（1）根據題意可得圓的方程為（x-a）²+（y-2a）²=4，
所以半徑為2，圓心坐標為（a，2a），
所以圓心坐標滿足的直線方程為y=2x．
（2）因為圓心在直線y=2x上，并且對任意a∈R，直線l被圓截得的弦長均為2，
所以所求直線必須平行于直線y=2x，
所以設所求直線的方程為y=2x+b，
因為該直線被圓截得的弦長均為2，并且半弦長、半徑與弦心距的關系為(

AB

2

)2+d2=r2，
所以d=

3

，
所以圓心（a，2a）到該直線的距離為

3

，則

|2a-2a+b|

5

=

3

，
解的b=±

15

，
所以直線方程為y=2x±

15

．

點評：解決此類問題的關鍵是熟練掌握圓的標準方程，以及直線與圓的位置關系，而當直線與圓相交時半弦長、半徑與弦心距的關系(

AB

2

)2+d2=r2是解題的關鍵．