Question

已知焦點在x軸上的雙曲線C的兩條漸近線過坐標原點，且兩條漸近線與以點為圓心，1為半徑為圓相切，又知C的一個焦點與A關于直線y=x對稱．
（1）求雙曲線C的方程；
（2）若Q是雙曲線C上的任一點，F(xiàn)₁、F₂為雙曲線C的左、右兩個焦點，從F₁引∠F₁QF₂的平分線的垂線，垂足為N，試求點N的軌跡方程；
（3）設直線y=mx+1與雙曲線C的左支交于A、B兩點，另一直線L經(jīng)過M（﹣2，0）及AB的中點，求直線 l 在y軸上的截距b的取值范圍．

Answer 1

解：（1）設雙曲線C的漸近線方程為y=kx，即kx﹣y=0．
∵該直線與圓相切，
∴雙曲線C的兩條漸近線方程為y=±x．
設雙曲線C的方程為，
∵雙曲線C的一個焦點為，
∴2a²=2，a²=1．∴雙曲線C的方程為x²﹣y²=1．
（2）若Q在雙曲線的右支上，則延長QF₂到T，使|QT|=|OF₁|；
若Q在雙曲線的左支上，則在QF₂上取一點T，使|QT|=|QF₁|．
根據(jù)雙曲線的定義，|TF₂|=2， 所以點T在以F₂為圓心，2為半徑的圓上，即點T的軌跡方程是
．     ①
由于點N是線段F₁T的中點，設N（x，y），T（x_T，y_T），則
代入①并整理，得點N的軌跡方程為 ．
（3）由．
令f（x）=（1﹣m²）x²﹣2mx﹣2，直線與雙曲線左支交于兩點，等價于方程 f（x）=0 在（﹣∞，0）上有兩個不等實根，
因此．又AB的中點為，
∴直線L的方程為．
令x=0，得．∵，
∴．
∴故b的取值范圍是．