Question

【題目】已知函數(shù)（是自然對數(shù)的底數(shù)），

（1）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；

（2）求的單調(diào)區(qū)間；

（3）設(shè)，其中為的導(dǎo)函數(shù)，證明：對任意，

Answer 1

【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ) 的單調(diào)遞增區(qū)間為；單調(diào)遞減區(qū)間為；（Ⅲ）見解析.

【解析】試題分析：（1）對函數(shù)f(x)求導(dǎo)， ，代入x=1,可求得，切點(diǎn)坐標(biāo)再點(diǎn)斜式可求切線方程。(2)定義域因?yàn)?/span>又得，可得單調(diào)區(qū)間。（3）， 等價(jià)于在時(shí)恒成立，由（2）知,當(dāng)時(shí)， 的最大值，即證。

試題解析：（Ⅰ） 的定義域?yàn)?/span>,

由，得，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為.

，所以，

所以曲線點(diǎn)A處的切線方程為

（Ⅱ），所以

令得，因此當(dāng)時(shí)， 單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)， 單調(diào)遞減.

所以的單調(diào)遞增區(qū)間為；單調(diào)遞減區(qū)間為.

（Ⅲ）證明：因?yàn)?/span>，所以， 等價(jià)于在時(shí)恒成立,

由（Ⅱ）知,當(dāng)時(shí)， 的最大值，

故，

因?yàn)?/span>時(shí)，

所以，

因此任意， .