Question

若（ax+2b）⁶的展開式中x³與x⁴的系數(shù)之比為4：3，其中a＞0，b≠0
（1）當(dāng)a=1時，求（ax+2b）⁶的展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)；
（2）令F(a，b)=

b3+16

a

，求F（a，b）的最小值．

Answer 1

分析：（1）由二項(xiàng)式定理可得（ax+2b）⁶的展開式中含x³與含x⁴的項(xiàng)的系數(shù)，由已知可得得a=2b，把a(bǔ)=1代入，由二項(xiàng)式系數(shù)的特點(diǎn)可得答案；
（2）可得F(a，b)=

b3+16

a

=

b2

2

+

8

b

，構(gòu)造函數(shù)F（x）=

x2

2

+

8

x

，x＞0，利用導(dǎo)數(shù)可得函數(shù)的最值，進(jìn)而可得答案．

解答：解：（1）（ax+2b）⁶的展開式中含x³的項(xiàng)為

C

3 6

(ax)3(2b)3，
故其系數(shù)為8

C

3 6

a3b3=160a³b³，
含x⁴的項(xiàng)為

C

4 6

(ax)4(2b)2，系數(shù)為4

C

4 6

a4b2=60a⁴b²，
故可得

160a3b3

60a4b2

=

4

3

，解得a=2b，
所以當(dāng)a=1時，（ax+2b）⁶=（x+1）⁶展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為：
T₄=

C

3 6

x3=20x³
（2）由a=2b＞0，F(a，b)=

b3+16

a

=

b2

2

+

8

b

，
構(gòu)造函數(shù)F（x）=

x2

2

+

8

x

，x＞0
求導(dǎo)數(shù)可得F′（x）=x-

8

x2

，
令F′（x）＞0，可解得x＞2，令F′（x）＜0，可解得0＜x＜2，
故函數(shù)F（x）在（0，2）單調(diào)遞減，在（2，+∞）單調(diào)遞增，
故可得F（a，b）的最小值為F（2）=6

點(diǎn)評：本題考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，以及用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)閉區(qū)間的最值，屬中檔題．