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        1. 精英家教網(wǎng)如圖,在三棱錐P-ABC中,PA⊥平面ABC,AB⊥BC,AC⊥BD,AP=AB=2,BC=2
          2
          ,E是PC的中點(diǎn).
          (Ⅰ)證明:PC⊥平面BDE;
          (Ⅱ)求平面BDE與平面ABP夾角的大。
          分析:解法一(向量法):以A為坐標(biāo)原點(diǎn),AB,AP,所在直線分別為x,z軸建立空間直角坐標(biāo)系.我們分別求出向量
          PC
          ,
          BE
          ,
          DE
          的坐標(biāo),根據(jù)向量的數(shù)量積為0時(shí),兩向量垂直,可得
          PC
          BE
          ,
          PC
          DE
          ,進(jìn)而由線面垂直的判定定理即可得到PC⊥平面BDE;
          (Ⅱ)分別求出平面BDE與平面ABP的法向量,代入向量夾角公式,即可得到平面BDE與平面ABP夾角的大。
          解法二(幾何法):由已知中AP=AB=2,BC=2
          2
          ,E是PC的中點(diǎn),我們可證得BE⊥PC,又由PA⊥平面ABC,由線面垂直的性質(zhì)可得PA⊥BD,進(jìn)而由線面垂直的判定定理得到PC⊥平面BDE;
          (Ⅱ)由(Ⅰ)的結(jié)合可得PC⊥平面BDE,由平面與平面夾角的定義可得,直線PC與BC的夾角即為平面BDE與平面BAP的夾角,解△PBC,即可得到平面BDE與平面BAP的夾角.
          解答:精英家教網(wǎng)解:解法一:(Ⅰ)如圖以A為坐標(biāo)原點(diǎn),AB,AP
          所在直線分別為x,z軸建立空間直角坐標(biāo)系.
          AP=AB=2,BC=2
          2
          ,AC⊥BD,
          在Rt△ABC中,由射影定理得AD=
          2
          3
          3
          ,則AD:DC=1:2
          ∴A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2
          2
          ,0)
          D(
          2
          3
          ,
          2
          2
          3
          ,0)
          ,P(0,0,2)
          又E是PC的中點(diǎn),∴E(1,
          2
          ,1)

          PC
          =(2,2
          2
          ,-2),
          BE
          =(-1,
          2
          ,1),
          DE
          =(
          1
          3
          2
          3
          ,1)

          PC
          BE
          =-2+4-2=0
          ,
          PC
          DE
          =
          2
          3
          +
          4
          3
          -2=0

          PC
          BE
          ,
          PC
          DE
          ,
          又DE∩BE=E,∴PC⊥平面BDE(6分)
          (Ⅱ)由(Ⅰ)知平面BDE的法向量
          n
          1
          =
          PC
          =(2,2
          2
          ,-2)

          平面BAP的法向量
          n
          2
          =
          BC
          =(0,2
          2
          ,0)
          ,∴
          n
          1
          n
          2
          =8

          設(shè)平面BDE與平面ABP的夾角為θ,
          cosθ=|cos(
          n
          1
          ,
          n
          2
          )|=
          |
          n
          1
          n
          2
          |
          |
          n
          1
          ||
          n
          2
          |
          =
          8
          4×2
          2
          =
          2
          2
          ,∴θ=45°,
          ∴平面BDE與平面ABP的夾角為45°(12分)
          解法二:精英家教網(wǎng)(Ⅰ)∵在Rt△PAB中,AP=AB=2,
          PB=
          AP2+AB2
          =2
          2
          =BC

          又E是PC的中點(diǎn),∴BE⊥PC,
          ∵PA⊥平面ABC,又BD?平面ABC
          ∴PA⊥BD,∵AC⊥BD,又AP∩AC=A
          ∴BD⊥平面PAC,又PC?平面PAC,
          ∴BD⊥PC,又BE∩BD=B,∴PC⊥平面BDE(6分)
          (Ⅱ)∵PA⊥平面ABC,∴PA⊥BC,又AB⊥BC,
          ∴BC⊥平面BAP,BC⊥PB,
          又由(Ⅰ)知PC⊥平面BDE,
          ∴直線PC與BC的夾角即為平面BDE與平面BAP的夾角,
          在△PBC中,PB=BC,∠PBC=90°,∠PCB=45°
          所以平面BDE與平面BAP的夾角為45°(12分)
          點(diǎn)評(píng):本題考查的知識(shí)點(diǎn)是與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題,直線與平面垂直的判定,其中解法一的關(guān)鍵是建立恰當(dāng)?shù)目臻g坐標(biāo)系,將線面及面面關(guān)鍵轉(zhuǎn)化為向量夾角問題,解法二的關(guān)鍵是熟練掌握線線,線面垂直之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系,及二面角的定義.
          練習(xí)冊(cè)系列答案
          相關(guān)習(xí)題

          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          精英家教網(wǎng)如圖,在三棱錐P-ABC中,PA、PB、PC兩兩垂直,且PA=3.PB=2,PC=1.設(shè)M是底面ABC內(nèi)一點(diǎn),定義f(M)=(m,n,p),其中m、n、p分別是三棱錐M-PAB、三棱錐M-PBC、三棱錐M-PCA的體積.若f(M)=(
          1
          2
          ,x,y),且
          1
          x
          +
          a
          y
          ≥8恒成立,則正實(shí)數(shù)a的最小值為
           

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          如圖,在三棱錐P-ABC中,PA⊥底面ABC,∠ACB=90°,AE⊥PB于E,AF⊥PC于F,若PA=AB=2,∠BPC=θ,則當(dāng)△AEF的面積最大時(shí),tanθ的值為(  )

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          如圖,在三棱錐P-ABC中,PA=PB=AB=2,BC=3,∠ABC=90°,平面PAB⊥平面ABC,D、E分別為AB、AC中點(diǎn).
          (Ⅰ)求證:DE‖平面PBC;
          (Ⅱ)求證:AB⊥PE;
          (Ⅲ)求二面角A-PB-E的大。

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          如圖,在三棱錐P-ABC中,已知PA=PB=PC,∠BPA=∠BPC=∠CPA=40°,一繩子從A點(diǎn)繞三棱錐側(cè)面一圈回到點(diǎn)A的最短距離是
          3
          ,則PA=
          1
          1

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          精英家教網(wǎng)如圖,在三棱錐P-ABC中,PA⊥底面ABC,∠BCA=90°,AP=AC,點(diǎn)D,E分別在棱
          PB,PC上,且BC∥平面ADE
          (I)求證:DE⊥平面PAC;
          (Ⅱ)當(dāng)二面角A-DE-P為直二面角時(shí),求多面體ABCED與PAED的體積比.

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          同步練習(xí)冊(cè)答案