Question

（2012•濟(jì)南三模）已知角α的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，始邊與x軸的正半軸重合，終邊經(jīng)過點(diǎn)P（-1，

3

）．
（Ⅰ）求sin2α-tanα的值；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）=cos（x+α）cosα+sin（x+α）sinα，求函數(shù)g（x）=

3

f（

π

2

-2x）-2f²（x）+1在區(qū)間[0，

2π

3

]上的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）根據(jù)三角函數(shù)的定義，求出sinα、cosα和tanα的值，結(jié)合二倍角正弦公式代入，可得sin2α-tanα的值；
（II）由兩角和的余弦公式，化簡得f（x）=cosx，再代入g（x）表達(dá)式，結(jié)合誘導(dǎo)公式、二倍角余弦公式和輔助角公式化簡，可得g（x）=2sin（2x-

π

6

），由此結(jié)合正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，不難得到g（x）在區(qū)間[0，

2π

3

]上的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）因?yàn)榻铅恋慕K邊經(jīng)過點(diǎn)P（-1，

3

），所以|OP|=

(-1)2+( 3 )2

=2
∴sinα=

3

2

，cosα=-

1

2

，tanα=

3

-1

=-

3

------------（3分）
∴sin2α-tanα=2sinαcosα-tanα=2×

3

2

×（-

1

2

）-（-

3

）=

3

2

----------（6分）
（2）f（x）=cos（x+α）cosα+sin（x+α）sinα=cos[（x+α）-α]=cosx，--------（8分）
∴g（x）=

3

f（

π

2

-2x）-2f²（x）+1=

3

cos（

π

2

-2x）-2cos²x+1
=

3

sin2x-cos2x-1=2sin（2x-

π

6

），----（10分）
∵x∈[0，

2π

3

]，2x∈[0，

4π

3

]，∴2x-

π

6

∈[-

π

6

，

7π

6

]
∴當(dāng)x=0時(shí)，sin（2x-

π

6

）=-

1

2

為最小值；當(dāng)x=

π

3

時(shí)，sin（2x-

π

6

）=1為最大值
即g（x）=2sin（2x-

π

6

）-1的最小值為g（0）=-1；最小值為g（

π

3

）=2．
所以函數(shù)g（x）=

3

f（

π

2

-2x）-2f²（x）+1在區(qū)間[0，

2π

3

]上的取值范圍是[-1，2]．-------（12分）

點(diǎn)評：本題根據(jù)三角函數(shù)的定義，求α的正弦、余弦和正切值，求三角式的值并求另一個(gè)函數(shù)在閉區(qū)間上的取值范圍，著重考查了三角函數(shù)的定義、和與差的三角函數(shù)公式、二倍角的正余弦公式、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)和輔助角公式等知識，屬于中檔題．