Question

（2009•河北區(qū)二模）已知直線ax+by-1=0（ab≠0）與圓x²+y²=2有公共點(diǎn)，且公共點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)，那么這樣的直線有（　�。�

A．4條

B．6條

C．8條

D．10條

Answer 1

分析：先考慮在第一象限找出圓上橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)有1個，依圓的對稱性知，圓上共有1×4=4個點(diǎn)橫縱坐標(biāo)均為整數(shù)，經(jīng)過其中任意兩點(diǎn)的割線有4個點(diǎn)任取2點(diǎn)確定一條直線，利用計數(shù)原理求出直線的總數(shù)，過每一點(diǎn)的切線共有4條，又考慮到直線ax+by-1=0不經(jīng)過原點(diǎn)，如圖所示上述直線中經(jīng)過原點(diǎn)的有2條，即可得到滿足題意直線的條數(shù)．

解答：解：解：當(dāng)x≥0，y≥0時，圓上橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)有（1，1），
根據(jù)題意畫出圖形，如圖所示：

根據(jù)圓的對稱性得到圓上共有1×4=4個點(diǎn)橫縱坐標(biāo)均為整數(shù)，
經(jīng)過其中任意兩點(diǎn)的割線有C₄²=6條，過每一點(diǎn)的切線共有4條，
上述直線中經(jīng)過原點(diǎn)的有2條，如圖所示，
則滿足題意的直線共有6+4-2=8條．
故選C

點(diǎn)評：此題考查了直線與圓的位置關(guān)系，以及計數(shù)原理的運(yùn)用．根據(jù)對稱性找出滿足題意的圓上的整數(shù)點(diǎn)的個數(shù)是解本題的關(guān)鍵．