Question

如圖在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是∠DAB=60°，且邊長為a的菱形，側(cè)面PAD為正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD．
（1）若G為AD邊的中點(diǎn)，求證：BG⊥平面PAD；
（2）求二面角A-BC-P的大小．

Answer 1

分析：（1）欲證BG⊥平面PAD，根據(jù)直線與平面垂直的判定定理可知只需證BG與平面PAD內(nèi)兩相交直線垂直，而PG⊥BG，BG⊥AG，PG∩AD=G，滿足定理?xiàng)l件；
（2）根據(jù)二面角平面角的定義可知∠PBG是二面角A-BC-P的平面角，在三角形PBG中求出此角即可．

解答：（1）證明：
∵△PAD為正三角形，G為AD邊的中點(diǎn)，∴PG⊥AD，
∵平面PAD垂直于底面ABCD，∴PG⊥底面ABCD，∴PG⊥BG
在菱形ABCD中，∠DAB=60°，AB=a
∴BG2=a2+

1

4

a2-2a•

1

2

a•cos60°=

3

4

a2，
∴△ABG為直角三角形，
且BG⊥AG，PG∩AD=G，∴BG⊥平面PAD
（2）解：由（1）知PG⊥底面ABCD，BG⊥AD，AD∥BC，
∴BG⊥BC，PB⊥BC，
∴∠PBG是二面角A-BC-P的平面角，
∵PG=

3

2

a，BG=

3

2

a，∴tan∠PBG=1，∴∠PBG=

π

4

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直線與平面垂直的判定，以及二面角及其度量，考查空間想象能力、運(yùn)算能力和推理論證能力，屬于基礎(chǔ)題．