Question

已知對(duì)一切x∈R，都有f（x）=f（2-x），且方程f（x）=0有5個(gè)不同的根x_i（i=1，2，3，4，5），則x₁+x₂+x₃+x₄+x₅=

5

．

Answer 1

分析：由題意可得f（1+x）=f（1-x），故函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線(xiàn)x=1對(duì)稱(chēng)，又知方程f（x）=0有5個(gè)不同的根，故5個(gè)交點(diǎn)中必有1個(gè)為1，其余4個(gè)關(guān)于直線(xiàn)x=1對(duì)稱(chēng)，由此可得答案．

解答：解：因?yàn)閷?duì)一切x∈R，都有f（x）=f（2-x），故用x+1來(lái)替換式中的x可得，
f（1+x）=f（2-x-1），即f（1+x）=f（1-x），
可知函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線(xiàn)x=1對(duì)稱(chēng)，
又知方程f（x）=0有5個(gè)不同的根，即函數(shù)f（x）的圖象與x軸有5個(gè)不同的交點(diǎn)，
故5個(gè)交點(diǎn)中必有1個(gè)為1，其余4個(gè)關(guān)于直線(xiàn)x=1對(duì)稱(chēng)，
故x₁+x₂+x₃+x₄+x₅=1+2+2=5．
故答案為：5

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)性，由條件得出函數(shù)的圖象關(guān)于直線(xiàn)x=1對(duì)稱(chēng)式解決問(wèn)題的關(guān)鍵，屬基礎(chǔ)題．