（本題滿分18分）第（1）小題滿分4分，第（2）小題滿分8分，第（3）小題滿分6分。
定義：由橢圓的兩個焦點和短軸的一個頂點組成的三角形稱為該橢圓的“特征三角形”。如果兩個橢圓的“特征三角形”是相似的，則稱這兩個橢圓是“相似橢圓”，并將三角形的相似比稱為橢圓的相似比。已知橢圓
。
若橢圓
，判斷
與
是否相似？如果相似，求出與的相似比；如果不相似，請說明理由；
寫出與橢圓相似且短半軸長為
的橢圓
的方程；若在橢圓上存在兩點
、
關(guān)于直線
對稱，求實數(shù)的取值范圍？
如圖：直線
與兩個“相似橢圓”
和
分別交于點
和點
，證明：
解：（1）橢圓
與
相似。-------------------2分
因為橢圓的特征三角形是腰長為4，底邊長為
的等腰三角形，而橢圓的特征三角形是腰長為2，底邊長為
的等腰三角形，因此兩個等腰三角形相似，且相似比為
-------------------4分
（2）橢圓
的方程為：
-------------------6分
設(shè)
，點
，
中點為
，
則
，所以
-------------------8分
則
-------------------9分
因為中點在直線
上，所以有
，
-------------------10分
即直線
的方程為：
，
由題意可知，直線與橢圓有兩個不同的交點，
即方程
有兩個不同的實數(shù)解，
所以
，即
-------------------12分
（3）證明：
①直線
與
軸垂直時，易得線段AB與CD的中點重合，所以
；-------------------14分
②直線不與軸垂直時，設(shè)直線的方程為：
，
，
線段AB的中點，
-------------------15分
線段AB的中點為
-------------------16分
同理可得線段CD的中點為，-------------------17分
即線段AB與CD的中點重合，所以-------------------18分
科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
（本題滿分18分，第（1）小題4分，第（2）小題6分，第（3）小題8分）
在平行四邊形
中，已知過點
的直線與線段
分別相交于點
。若
。
（1）求證：
與
的關(guān)系為
；
（2）設(shè)
，定義函數(shù)
，點列
在函數(shù)
的圖像上，且數(shù)列
是以首項為1，公比為
的等比數(shù)列，
為原點，令
，是否存在點
，使得
？若存在，請求出
點坐標；若不存在，請說明理由。
（3）設(shè)函數(shù)
為
上偶函數(shù)，當(dāng)
時
，又函數(shù)圖象關(guān)于直線
對稱， 當(dāng)方程
在
上有兩個不同的實數(shù)解時，求實數(shù)
的取值范圍。
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2012屆上海市崇明中學(xué)高三第一學(xué)期期中考試試題數(shù)學(xué) 題型：解答題
（本題滿分18分，第（1）小題4分，第（2）小題6分，第（3）小題8分）
對于數(shù)列
，如果存在一個正整數(shù)
，使得對任意的
（
）都有
成立，那么就把這樣一類數(shù)列稱作周期為的周期數(shù)列，的最小值稱作數(shù)列的最小正周期，以下簡稱周期。例如當(dāng)
時是周期為
的周期數(shù)列，當(dāng)
時
是周期為
的周期數(shù)列。
（1）設(shè)數(shù)列
滿足
（），
（
不同時為0），且數(shù)列是周期為
的周期數(shù)列，求常數(shù)
的值；
（2）設(shè)數(shù)列的前項和為
，且
．
①若
，試判斷數(shù)列是否為周期數(shù)列，并說明理由；
②若
，試判斷數(shù)列是否為周期數(shù)列，并說明理由；
（3）設(shè)數(shù)列滿足
（），
，
，
，數(shù)列
的前項和為，試問是否存在
，使對任意的都有
成立，若存在，求出的取值范圍；不存在， 說明理由；
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2011-2012學(xué)年上海市高三第一學(xué)期期中考試試題數(shù)學(xué) 題型：解答題
（本題滿分18分，第（1）小題4分，第（2）小題6分，第（3）小題8分）
對于數(shù)列
，如果存在一個正整數(shù)
，使得對任意的
（
）都有
成立，那么就把這樣一類數(shù)列稱作周期為的周期數(shù)列，的最小值稱作數(shù)列的最小正周期，以下簡稱周期。例如當(dāng)
時是周期為
的周期數(shù)列，當(dāng)
時
是周期為
的周期數(shù)列。
（1）設(shè)數(shù)列
滿足
（），
（
不同時為0），且數(shù)列是周期為
的周期數(shù)列，求常數(shù)
的值；
（2）設(shè)數(shù)列的前項和為
，且
．
①若
，試判斷數(shù)列是否為周期數(shù)列，并說明理由；
②若
，試判斷數(shù)列是否為周期數(shù)列，并說明理由；
（3）設(shè)數(shù)列滿足
（），
，
，
，數(shù)列
的前項和為，試問是否存在
，使對任意的都有
成立，若存在，求出的取值范圍；不存在，
說明理由；
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2011-2012學(xué)年上海市十三校高三上學(xué)期第一次聯(lián)考試題文科數(shù)學(xué) 題型：解答題
(本題滿分18分，第1小題滿分5分，第2小題滿分5分，第3小題滿分8分)
已知函數(shù)
，其中
.
(1)當(dāng)
時，設(shè)
，
，求
的解析式及定義域；
(2)當(dāng)，
時，求
的最小值；
(3)設(shè)
，當(dāng)
時，
對任意
恒成立，求
的取值范圍.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2010年上海市徐匯區(qū)高三第二次模擬考試數(shù)學(xué)卷（文） 題型：解答題
（本題滿分18分；第（1）小題5分，第（2）小題5分，第（3）小題8分）
設(shè)數(shù)列
是等差數(shù)列，且公差為
，若數(shù)列
中任意（不同）兩項之和仍是該數(shù)列中的一項，則稱該數(shù)列是“封閉數(shù)列”.
（1）若
，求證：該數(shù)列是“封閉數(shù)列”；
（2）試判斷數(shù)列
是否是“封閉數(shù)列”，為什么？
（3）設(shè)
是數(shù)列的前
項和，若公差
，試問：是否存在這樣的“封閉數(shù)列”，使
；若存在，求的通項公式，若不存在，說明理由.
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