已知拋物線的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)

,焦點(diǎn)

在

軸上,拋物線上的點(diǎn)

到

的距離為2,且

的橫坐標(biāo)為1.直線

與拋物線交于

,

兩點(diǎn).
(1)求拋物線的方程;
(2)當(dāng)直線

,

的傾斜角之和為

時(shí),證明直線

過(guò)定點(diǎn).
(1)

;(2)直線

恒過(guò)定點(diǎn)

,證明詳見解析.
試題分析:(1)設(shè)拋物線方程為

,由拋物線的定義及

即可求得

的值;(2)先設(shè)點(diǎn)

,

,然后將直線方程與拋物線方程聯(lián)立消去

得

,根據(jù)二次方程根與系數(shù)的關(guān)系表示出

,設(shè)直線

,

的傾斜角分別為

,斜率分別為

,則

,進(jìn)而根據(jù)正切的兩角和公式可知

,其中

,

,代入

求得

和

的關(guān)系式,此時(shí)使

有解的

有無(wú)數(shù)組,把直線方程整理得

,推斷出直線

過(guò)定點(diǎn)

.
試題解析:(1)設(shè)拋物線方程為

由拋物線的定義知

,又

2分
所以

,所以拋物線的方程為

4分
(2)設(shè)

,

聯(lián)立

,整理得

(依題意

)

,

6分
設(shè)直線

,

的傾斜角分別為

,斜率分別為

,則


8分
其中

,

,代入上式整理得

所以

即

10分
直線

的方程為

,整理得

所以直線

過(guò)定點(diǎn)

12分.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題
科目:高中數(shù)學(xué)
來(lái)源:不詳
題型:解答題
已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,拋物線C與直線l1:y=-x的一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為8.
(1)求拋物線C的方程;
(2)不過(guò)原點(diǎn)的直線l2與l1垂直,且與拋物線交于不同的兩點(diǎn)A、B,若線段AB的中點(diǎn)為P,且|OP|=|PB|,求△FAB的面積.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來(lái)源:不詳
題型:填空題
過(guò)拋物線
y2=4
x的焦點(diǎn)
F的直線交該拋物線于
A,
B兩點(diǎn).若|
AF|=3,
則|
BF|=________.

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科目:高中數(shù)學(xué)
來(lái)源:不詳
題型:單選題
拋物線

的焦點(diǎn)為

,點(diǎn)

為該拋物線上的動(dòng)點(diǎn),又點(diǎn)

,則

的最小值是( )
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科目:高中數(shù)學(xué)
來(lái)源:不詳
題型:單選題
若拋物線
y2=8
x上的點(diǎn)(
x0,
y0)到拋物線焦點(diǎn)的距離為3,則|
y0|=( ).
A. | B.2 | C.2 | D.4 |
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科目:高中數(shù)學(xué)
來(lái)源:不詳
題型:填空題
拋物線x=8y2的焦點(diǎn)坐標(biāo)為 .
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科目:高中數(shù)學(xué)
來(lái)源:不詳
題型:單選題
已知拋物線

的焦點(diǎn)

,該拋物線上的一點(diǎn)

到

軸的距離為3,則

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科目:高中數(shù)學(xué)
來(lái)源:不詳
題型:單選題
已知拋物線


,過(guò)其焦點(diǎn)且斜率為-1的直線交拋物線于

兩點(diǎn),若線段

的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為-2,則該拋物線的準(zhǔn)線方程為( )
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科目:高中數(shù)學(xué)
來(lái)源:不詳
題型:填空題
設(shè)拋物線C:

的焦點(diǎn)為F,點(diǎn)M在C上,|MF|=5,若以MF為直徑的圓過(guò)點(diǎn)(0, 2),則C的方程為
.
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