Question

已知定點(diǎn)A（-2，0），動點(diǎn)B是圓F：（x-2）²+y²=64（F為圓心）上一點(diǎn)，線段AB的垂直平分線交BF于P．
（I）求動點(diǎn)P的軌跡方程；
（II）是否存在過點(diǎn)E（0，-4）的直線l交P點(diǎn)的軌跡于點(diǎn)R，T，且滿足（O為原點(diǎn)）．若存在，求直線l的方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（I）由題意得|PA|=|PB|且|PB|+|PF|=r=8．故|PA|+|PF|=8＞|AF|=4∴P點(diǎn)軌跡為以A、F為焦點(diǎn)的橢圓，從而動點(diǎn)P的軌跡方程；
（II）假設(shè)存在滿足題意的直線L，設(shè)直線L的斜率為k，R（x₁，y₁），T（x₂，y₂）．∵，∴．從而求得直線方程．
解答：解：（I）由題意得|PA|=|PB|且|PB|+|PF|=r=8．故|PA|+|PF|=8＞|AF|=4
∴P點(diǎn)軌跡為以A、F為焦點(diǎn)的橢圓．
設(shè)橢圓方程為
∴．
（II）假設(shè)存在滿足題意的直線L．易知當(dāng)直線的斜率不存在時，不滿足題意．
故設(shè)直線L的斜率為k，R（x₁，y₁），T（x₂，y₂）．
∵，∴．
．．…①．
∴．
∴y₁•y₂=（kx₁-4）（kx₂-4）=k²x₁x₂-4k（x₁+x₂）+16，
．解得k²=1．…②．
由①、②解得k=±1．
∴直線l的方程為y=±x-4．
故存在直線l：，x+y+4=0或x-y-4=0，滿足題意．
點(diǎn)評：本題考查橢圓定義的運(yùn)用及待定系數(shù)法求橢圓方程；（II）關(guān)鍵是將條件等價變形，同時應(yīng)注意分類討論．