Question

如圖1，在平面內(nèi)，ABCD是的矩形，△PAB是正三角形，將△PAB沿AB折起，使PC⊥BD，如圖2，E為AB的中點(diǎn)，設(shè)直線l過點(diǎn)C且垂直于矩形ABCD所在平面，點(diǎn)F是直線l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且與點(diǎn)P位于平面ABCD的同側(cè)．
（1）求證：PE⊥平面ABCD；
（2）設(shè)直線PF與平面PAB所成的角為θ，若45°＜θ≤60°，求線段CF長的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意得：BD⊥PE，PE⊥AB所以PE⊥平面ABCD．所以證明線面垂直一般是證明已知直線與平面內(nèi)的兩條相交直線垂直即可．
（2）建立空間直角坐標(biāo)系利用向量法求出直線所在的向量與平面的法向量，結(jié)合向量的知識(shí)表示出向量的夾角，進(jìn)而表示出線面角，再求出線段CF長的取值范圍．
解答：解：（1）連接EC，∵，∠EBC=∠BCD=90°，
∴△EBC∽△BCD，
∴∠ECB=∠BDC．
∴BD⊥CE．
又∵PC⊥BD，PC∩CE=C，
∴BD⊥平面PEC．
∴BD⊥PE．
在正△PAB中，
∵E是AB的中點(diǎn)，
∴PE⊥AB．
又∵AB∩BD=B，
∴PE⊥平面ABCD．
（2）∵PE⊥平面ABCD，CF⊥平面ABCD，
∴PE∥CF．
∴CF∥平面PAB．
又∵CB⊥平面PAB．
∴點(diǎn)F到平面PAB的距離=點(diǎn)C到平面PAB的距離=．
設(shè)CF=t．過F作FG⊥PE于G，則．．
∵45°＜θ≤60°，
∴．
∴．
解得．
所以線段CF長的取值范圍為．
點(diǎn)評(píng)：解決探索性問題與求長度問題最好的方法就是向量法，將其轉(zhuǎn)化為向量的基本運(yùn)算，通過方程或不等式解決問題．