Question

證明在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)，方程（i為虛數(shù)單位）無解．

Answer 1

【答案】分析：復(fù)系數(shù)方程是否有實(shí)根，可根據(jù)方程根的定義以及復(fù)數(shù)相等的充要條件，將復(fù)數(shù)問題轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)問題．此題需要設(shè)出復(fù)數(shù)的代數(shù)形式，然后根據(jù)復(fù)數(shù)相等的充要條件建立實(shí)數(shù)方程組，最后求解方程組看其是否有解．
解答：證明：設(shè)這個(gè)方程有復(fù)數(shù)根為z=x+yi（x，y∈R），
則應(yīng)有
化簡得x²+y²-2（x+y）i=1-3i
根據(jù)復(fù)數(shù)相等得
由式（2）得
將其代入式（1）得，
∵，
∴式（3）無實(shí)根，即x不是實(shí)數(shù)與假設(shè)矛盾
所以方程沒有復(fù)數(shù)根．
點(diǎn)評：復(fù)數(shù)相等的充要條件（它們的實(shí)部和虛部分別相等）是把復(fù)數(shù)問題轉(zhuǎn)化成實(shí)數(shù)問題的主要途徑，依據(jù)它可求復(fù)數(shù)的值、在復(fù)數(shù)集中解方程等．