Question

設α為常數，求證：y=f（x）=cos²x+cos²（x+α）-2cosαcosxcos（x+α）．表示平行于x軸的直線（α≠kπ，k∈Z）．

Answer 1

分析：要想證明y=f（x）=cos²x+cos²（x+α）-2cosαcosxcos（x+α）．表示平行于x軸的直線（α≠kπ，k∈Z）．且又有設α為常數，則證明的方向是將函數的解析式進行化簡，化簡成一個不含x的常數．

解答：證明：y=f（x）=cos²x+cos²（x+α）-2cosαcosxcos（x+α）
=cos²x+cos²（x+α）-2cosxcos（x+α）cos[（x+α）-x]
=cos²x+cos²（x+α）-2cosxcos（x+α）[cos（x+α）cosx+sin（x+α）sinx]
=cos²x+cos²（x+α）-2cosxcos（x+α）cos（x+α）cosx-2cosxcos（x+α）sin（x+α）sinx
=cos²x+cos²（x+α）-2cos²xcos²（x+α）-2cosxcos（x+α）sin（x+α）sinx
=[cos²x-cos²xcos²（x+α）]+[cos²（x+α）-cos²xcos²（x+α）]-2cosxcos（x+α）sin（x+α）sinx
=cos²xsin²（x+α）+cos²（x+α）sin²x-2cosxcos（x+α）sin（x+α）sinx
=[cosxsin（x+α）-cos（x+α）sinx]²
=sin²[（x+α）-x]=sin²α
又∵α為常數
∴y=f（x）表示平行于x軸的直線

點評：本題的證明過程比較復雜，為了得到證明方向，我們可以先代入特殊值，如x=0，先來判斷結果是一個什么樣的常數，再逆推一下尋找解題的思路．