Question

若中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)坐標(biāo)為（0，±5

2

）的橢圓被直線3x-y-2=0截得的弦的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為

1

2

，則橢圓方程為（　�。�

• A．

  2x2

  25

  +

  2y2

  75

  =1
• B．

  2x2

  75

  +

  2y2

  25

  =1
• C．

  x2

  25

  +

  y2

  75

  =1
• D．

  x2

  75

  +

  y2

  25

  =1

Answer 1

分析：先根據(jù)焦點(diǎn)坐標(biāo)得出a²-b²=50，根據(jù)直線方程求出AB中點(diǎn)為（

1

2

，-

1

2

）．再設(shè)而不求的方法求得AB的斜率與中點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系式，求出a²=3b²，聯(lián)解兩式即可得到該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．

解答：解：設(shè)橢圓：

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0），則a²-b²=50①
又設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），弦AB中點(diǎn)（x₀，y₀）
∵x₀=

1

2

，∴代入直線方程得y₀=

3

2

-2=-

1

2

由

y12 a2 + x12 b2 =1 y22 a2 x22 b2 =1

，可得

y12-y22

a2

=-

x12-x22

b2

∴AB的斜率k=

y1-y2

x1-x2

=-

a2

b2

•

x1+x2

y1+y2

=-

a2

b2

•

x0

y0

=3
∵

x0

y0

=-1，∴a²=3b²②
聯(lián)解①②，可得a²=75，b²=25，得橢圓的方程為：

x2

25

+

y2

75

=1
故選：C

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與圓錐曲線的綜合問題．直線與圓錐曲線聯(lián)系在一起的綜合題在高考中多以高檔題、壓軸題出現(xiàn)，主要涉及位置關(guān)系的判定，弦長(zhǎng)問題、最值問題、對(duì)稱問題、軌跡問題等．