Question

如圖，小島A在港口P的南偏西60°方向，距離港口81n mile處．甲船從A出發(fā)，沿AP方向以9n mile/h的速度駛向港口，乙船從港口P出發(fā)，沿南偏東75°方向，以9

2

 n mile/h的速度駛離港口．現(xiàn)兩船同時(shí)出發(fā)，
（1）出發(fā)后3h兩船之間的距離是多少？
（2）出發(fā)后幾小時(shí)乙船在甲船的正東方向？

Answer 1

分析：（1）設(shè)出發(fā)后3h甲船到達(dá)C點(diǎn)，乙船到達(dá)D點(diǎn)，則PC=54，PD=27

2

．在△PCD中，利用余弦定理求得CD即可得到出發(fā)后3h兩船相距的距離；
（2）先設(shè)出發(fā)后xh乙船位于甲船的正東方向，此時(shí)甲船到達(dá)E點(diǎn)，乙船到達(dá)F點(diǎn)，結(jié)合題中條件在△PEF中利用正弦定理求得x即可．

解答：解：（1）設(shè)出發(fā)后3h甲船到達(dá)C點(diǎn)，乙船到達(dá)D點(diǎn)，則PC=54，PD=27

2

．
由題意，可知∠CPD=135°．
在△PCD中，CD²=PC²+PD²-2PC•PDcos∠CPD（2分）
=54²+（27

2

）²-2×54×27

2

×（-

2

2

）=27²×10=7290．
所以CD=27

10

．（3分）
所以出發(fā)后3h兩船相距27

10

nmile．（4分）

（2）設(shè)出發(fā)后xh乙船位于甲船的正東方向，此時(shí)甲船到達(dá)E點(diǎn)，乙船到達(dá)F點(diǎn)，
則∠PEF=30°，∠PFE=15°，PE=81-9x，PF=9

2

x．
在△PEF中，

PE

sin∠PFE

=

PF

sin∠PEF

．即

81-9x

sin15°

=

9 2 x

sin30°

．（7分）
解得x=3

3

．（9分）
答：出發(fā)后3h兩船相距27

10

nmile，出發(fā)后3

3

h乙船在甲船的正東方向．（10分）

點(diǎn)評(píng)：考查綜合應(yīng)用解三角形，進(jìn)行邏輯推理能力和運(yùn)算能力，解答關(guān)鍵是合理使用正弦定理和余弦定理．