Question

已知點(diǎn)F（0，1），點(diǎn)P在x軸上運(yùn)動(dòng)，M點(diǎn)在y軸上，N為動(dòng)點(diǎn)，且滿(mǎn)足，．
（1）求動(dòng)點(diǎn)N的軌跡C方程；
（2）由直線(xiàn)y=-1上一點(diǎn)Q向曲線(xiàn)C引兩條切線(xiàn)，切點(diǎn)分別為A，B，求證：AQ⊥BQ．

Answer 1

【答案】分析：（1）首先根據(jù)分別表示出P，M的坐標(biāo)；然后根據(jù)兩個(gè)條件即可求出動(dòng)點(diǎn)N的軌跡C方程．
（2）根據(jù)兩條直線(xiàn)斜率k均存在，故直接設(shè)出兩切線(xiàn)方程，代入曲線(xiàn)C的方程，化簡(jiǎn)為一元二次方程，根據(jù)判別式△=0得到一個(gè)關(guān)系式，根據(jù)韋達(dá)定理易得出兩根之積為-1，即兩斜率之積為-1，易得出兩直線(xiàn)垂直
解答：解：（1）設(shè)N（x，y）．
因，
故P的坐標(biāo)為（，0），M（0，-y），
于是，，．
因，
即得曲線(xiàn)C的方程為x²=4y
（2）設(shè)Q（m，-1）．
由題意，兩條切線(xiàn)的斜率k均存在，
故可設(shè)兩切線(xiàn)方程為y=k（x-m）-1．
將上述方程代入x²=4y，
得x²-4kx+4km+4=0．
依題意，△=（-4k）²-4（4km+4）=0，
即k²-mk-1=0．
上述方程的兩根即為兩切線(xiàn)的斜率，
由根與系數(shù)的關(guān)系，其積為-1，即它們所在直線(xiàn)互相垂直
∴AQ⊥BQ
點(diǎn)評(píng)：本題考查求點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡方程問(wèn)題和直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)相切問(wèn)題，涉及到一元二次方程判別式與韋達(dá)定理的問(wèn)題，屬于難題