Question

已知數(shù)列{a_n}中，a₁=1，且點(diǎn)P（a_n，a_n+1）（n∈N^*）在直線x-y+1=0上．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若函數(shù)f（n）=

1

n+a1

+

1

n+a2

+

1

n+a3

+…+

1

n+an

（n∈N^*，且n≥2），求函數(shù)f（n）的最小值．

Answer 1

分析：（1）把點(diǎn)P代入直線方程中，可得a_n+1-a_n=1，進(jìn)而可知數(shù)列{a_n}是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求得a_n．
（2）根據(jù)（1）中求得的數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式代入f（n）和f（n+1），可求得f（n+1）-f（n）＞0，進(jìn)而推斷所以f（n）是單調(diào)遞增，故可知f（2）是函數(shù)f（n）的最小值．

解答：解：（1）由點(diǎn)P（a_n，a_n+1）在直線x-y+1=0上，
即a_n+1-a_n=1，且a₁=1，數(shù)列{a_n}是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，
a_n=1+（n+1）•1=n（n≥2），a₁=1同樣滿足，
所以a_n=n．
（2）f(n)=

1

n+1

+

1

n+2

++

1

2n

，f(n+1)=

1

n+2

+

1

n+3

+

1

n+4

+

1

2n+1

+

1

2n+2

，f(n+1)-f(n)=

1

2n+1

+

1

2n+2

-

1

n+1

＞

1

2n+2

+

1

2n+2

-

1

n+1

=0．
所以f（n）是單調(diào)遞增，
故f（n）的最小值是f(2)=

7

12

．

點(diǎn)評：本題主要考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式．屬基礎(chǔ)題．