Question

已知函數(shù)f(x)=

2

sin(2x-

π

4

)+4cos2x．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最小正周期及最小值；
（Ⅱ）若α∈[0，

π

2

]，且f（α）=3，求α的值．

Answer 1

分析：利用兩角和與差的正弦函數(shù)與倍角的余弦化成一個(gè)角的三角函數(shù)形式．
（I）根據(jù)y=sinx的最小正周期與最值，求解f（x）=

2

sin（2x+

π

4

）+2的最小正周期與最小值．
（II）利用f（α）=3，求出sin（2α+

π

4

）=

2

2

，再根據(jù)2α+

π

4

的范圍求出2α+

π

4

的值，從而求出α．

解答：解：f(x)=

2

sin(2x-

π

4

)+4cos2x=

2

•sin2x•cos

π

4

-

2

•cos2x•sin

π

4

+4•

1+cos2x

2

=sin2x-cos2x+2cos2x+2=sin2x+cos2x+2=

2

sin(2x+

π

4

)+2．
（Ⅰ）函數(shù)f（x）的最小正周期為

2π

2

=π，
函數(shù)f（x）的最小值為2-

2

．                                
（Ⅱ）由f（α）=3得

2

sin(2α+

π

4

)+2=3．
所以sin(2α+

π

4

)=

2

2

．
又因?yàn)?span id="qbp6nt4" class="MathJye">α∈[0，

π

2

]，所以

π

4

≤2α+

π

4

≤

5π

4

，
所以2α+

π

4

=

π

4

或2α+

π

4

=

3π

4

．
所以α=0或α=

π

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了兩角和與差的正弦函數(shù)，倍角的余弦公式，考查了三角函數(shù)的最小正周期及最值的求法，解答此類(lèi)題的關(guān)鍵是化簡(jiǎn)三角函數(shù)為一個(gè)角的三角函數(shù)形式．