Question

已知函數f(x)=

-x3+x2+bx+c，x＜1 alnx，x≥1

，當x=

2

3

時，函數f（x）有極大值

4

27

．
（Ⅰ）求實數b、c的值；
（Ⅱ）若存在x₀∈[-1，2]，使得f（x₀）≥3a-7成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）x＜1時，f′（x）=-3x²+2x+b，利用當x=

2

3

時，函數f（x）有極大值

4

27

，建立方程，即可求得實數b、c的值；
（Ⅱ）存在x₀∈[-1，2]，使得f（x₀）≥3a-7成立，等價于x∈[-1，2]，使得f（x）_max≥3a-7成立，分類討論，求出函數的最大值，即可求實數a的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）x＜1時，f′（x）=-3x²+2x+b
∵當x=

2

3

時，函數f（x）有極大值

4

27

，
∴f′（

2

3

）=-

4

3

+

4

3

+b=0，f（

2

3

）=-

8

27

+

4

9

+c=

4

27

，
∴b=0，c=0；
（Ⅱ）存在x₀∈[-1，2]，使得f（x₀）≥3a-7成立，等價于x∈[-1，2]，使得f（x）_max≥3a-7成立
由（Ⅰ）知，f(x)=

-x3+x2，x＜1 alnx，x≥1

①-1≤x＜1時，f′（x）=-3x（x-

2

3

），函數在（-1，0）上單調遞減，在（0，

2

3

）上單調遞增，在（

2

3

，1）上單調遞減
∵f（-1）=2，f（

2

3

）=

4

27

，∴-1≤x＜1時，f（x）_max=2，；
②2≥x≥1時，f′（x）=

a

x

，
1°、a＞0，函數在[1，2]上單調遞增，f（x）_max=f（2）=aln2，
∴

aln2＞2 aln2≥3a-7

或

aln2≤2 2≥3a-7

，∴

2

ln2

＜a≤

7

3-ln2

或0＜a≤

2

ln2

；
2°、a≤0，函數在[1，2]上單調遞減，f（x）_max=f（1）=aln1=0，
∴2≥3a-7，∴a≤3，∴a≤0
綜上，實數a的取值范圍是a≤

7

3-ln2

．

點評：本題考查導數知識的運用，考查函數的絕對值，考查函數的最值，考查分類討論的數學思想，屬于中檔題．