Question

已知點(diǎn)（1，1）是橢圓

x2

4

+

y2

2

=1某條弦的中點(diǎn)，則此弦所在的直線方程為：

x+2y-3=0

．

Answer 1

分析：設(shè)以A（1，1）為中點(diǎn)橢圓的弦與橢圓交于E（x₁，y₁），F(xiàn)（x₂，y₂），A（1，1）為EF中點(diǎn)，x₁+x₂=2，y₁+y₂=2，利用點(diǎn)差法能夠求出以A（1，1）為中點(diǎn)橢圓的弦所在的直線方程．

解答：解：設(shè)以A（1，1）為中點(diǎn)橢圓的弦與橢圓交于E（x₁，y₁），F(xiàn)（x₂，y₂），
∵A（1，1）為EF中點(diǎn)，
∴x₁+x₂=2，y₁+y₂=2，
把E（x₁，y₁），F(xiàn)（x₂，y₂）分別代入橢圓

x2

4

+

y2

2

=1，
可得

x12

4

+

y12

2

=1，

x22

4

+

y22

2

=1
兩式相減，可得（x₁+x₂）（x₁-x₂）+2（y₁+y₂）（y₁-y₂）=0，
∴2（x₁-x₂）+4（y₁-y₂）=0，
∴k=

y1-y2

x1-x2

=-

1

2

∴以A（1，1）為中點(diǎn)橢圓的弦所在的直線方程為：y-1=-

1

2

（x-1），
整理，得x+2y-3=0．
故答案為：x+2y-3=0．

點(diǎn)評：本題考查以A（1，1）為中點(diǎn)橢圓的弦所在的直線方程的求法，考查點(diǎn)差法的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．