Question

已知函數(shù)：（1）y=x+

4

x

（x＞0），（2）y=cosx+

4

cosx

（0＜x＜

π

2

），（3）y=

x2+13

x2+9

，（4）y=

1

2

(1+cotx)(1+4tanx)（0＜x＜

π

2

），其中以4為最小值的函數(shù)的序號為

（1）

．

Answer 1

分析：由基本不等式，我們可以分別求出題目中四個函數(shù)的值域，然后逐一比照后，即可得到答案．

解答：解：（1）中y=x+

4

x

（x＞0）
則y∈[4，+∞），
故y=x+

4

x

（x＞0）的最小值是4，即（1）符合要求；
（2）中y=cosx+

4

cosx

（0＜x＜

π

2

），
則y∈（5，+∞），即（2）不符合要求；
（3）中y=

x2+13

x2+9

=

x2+9

+

4

x2+9

由于

x2+9

≥3，當

x2+9

=3時，
y=

x2+13

x2+9

取最小值是4

1

3

，即（3）不符合要求；
（4）中y=

1

2

(1+cotx)(1+4tanx)=

5

2

+

1

2

（cotx+4tanx）
∵0＜x＜

π

2

，
∴cotx+4tanx≥4
∴y∈[4

1

2

，+∞），
故y=

1

2

(1+cotx)(1+4tanx)（0＜x＜

π

2

）的最小值是4

1

2

，即（4）不符合要求；
故答案為：（1）

點評：本題考查的知識點是函數(shù)的最值及其幾何意義，基本不等式，其中結(jié)合基本不等式，求出各個函數(shù)的值域，是解答本題的關(guān)鍵．