Question

對于定義域為I的函數(shù)y=f（x），如果存在區(qū)間[m，n]⊆I，同時滿足：①f（x）在[m，n]內是單調函數(shù)；②當定義域是[m，n]，f（x）值域也是[m，n]，則稱[m，n]是函數(shù)y=f（x）的“好區(qū)間”．
（1）設g(x)=loga(ax-2a)+loga(ax-3a)（其中a＞0且a≠1），判斷g（x）是否存在“好區(qū)間”，并說明理由；
（2）已知函數(shù)P(x)=

(t2+t)x-1

t2x

(t∈R，t≠0)有“好區(qū)間”[m，n]，當t變化時，求n-m的最大值．

Answer 1

分析：（1）g（x）在區(qū)間[m，n]是單調的，由g（m）=m，g（n）=n得m、n是方程g（x）=x的兩個不等實根，從而求出a的取值范圍；
（2）函數(shù)P（x）有“好區(qū)間”[m，n]，即P（x）在[m，n]上是單調函數(shù)，由

P(m)=m P(n)=n

得m，n是方程P（x）=x的同號不等二實根，求得n-m的最大值．

解答：解：（1）由題意，

ax-2a＞0 ax-3a＞0

，∴a^x＞3a，（a＞0且a≠1）；
①當a＞1時，x＞log_a（3a），此時D=（log_a（3a），+∞），任取x₁、x₂∈D，且x₁＜x₂，
∵ax1＜ax2，∴0＜ax1-2a＜ax2-2a，0＜ax1-3a＜ax2-3a，
∴l(xiāng)og_a（ax1-2a）＜log_a（ax2-2a），log_a（ax1-3a）＜log_a（ax2-3a）；
∴g（x）在D=（log_a（3a），+∞）上是增函數(shù)；
②當0＜a＜1時，x＜log_a（3a），此時D=（-∞，log_a（3a）），
同理可證，g（x）在D=（-∞，log_a（3a））上是增函數(shù)；
∴存在好區(qū)間[m，n]?存在m，n∈D（m＜n），使

g(m)=m g(n)=n

成立，
等價于關于x的方程f（x）=x在定義域D上有兩個不等實根，
即（a^x-2a）（a^x-3a）=a^x（*）在定義域D上有兩個不等實根；
設t=a^x，t∈D，則（*）等價于方程（t-2a）（t-3a）=t，
即t²-（5a+1）t+6a²=0在（3a，+∞）上有兩個不等實根，
設函數(shù)h（t）=t²-（5a+1）t+6a²，則

a＞0，a≠1 △=(5a+1)2-24a2＞0 5a+1 2 ＞3a

無解；
∴函數(shù)g（x）不存在好區(qū)間；
（2）∵函數(shù)P(x)=

(t2+t)x-1

t2x

(t∈R，t≠0)有“好區(qū)間”[m，n]，
∴[m，n]?（-∞，0）或[m，n]?（0，+∞）；
∴P（x）=

t+1

t

-

1

t2x

在[m，n]上單調遞增，
∴

P(m)=m P(n)=n

，即m，n是方程P（x）=x的同號不等二實根，
即方程t²x²-t（t+1）x+1=0，
∵mn=

1

t2

＞0，
∴△=t²（t+1）²-4t²＞0，
∴t＞1或t＜-3，
∴n-m=

(m+n)2-4mn

=

-3( 1 t - 1 3 )2+ 4 3

，其中t∈（-∞，-3）∪（1，+∞）；
當t=3時，n-m取得最大值

2 3

3

．

點評：本題考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性以及根據(jù)函數(shù)的單調性判定一元二次方程根的情況，是易錯題．