6已知數(shù)列{an}.{bn}滿足bn=,求證:數(shù)列{an}成等差數(shù)列的充要條件是數(shù)列{bn}也是等差數(shù)列. 題目和參考答案——青夏教育精英家教網(wǎng)—

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6已知數(shù)列{a_n}、{b_n}滿足b_n=,求證：數(shù)列{a_n}成等差數(shù)列的充要條件是數(shù)列{b_n}也是等差數(shù)列。

證明略

解析:

①必要性：

設{a_n}成等差數(shù)列，公差為d,∵{a_n}成等差數(shù)列

從而b_n₊₁－b_n=a₁+n·d－a₁－(n－1) d=d為常數(shù)。

故{b_n}是等差數(shù)列，公差為d。

②充分性:

設{b_n}是等差數(shù)列，公差為d′,則b_n=(n－1)d′

∵b_n(1+2+…+n)=a₁+2a₂+…+na_n①

b_n_－₁(1+2+…+n－1)=a₁+2a₂+…+(n－1)a_n②

①－②得：na_n=b_n_－₁?

從而得a_n₊₁－a_n=d′為常數(shù)，故{a_n}是等差數(shù)列。

綜上所述，數(shù)列{a_n}成等差數(shù)列的充要條件是數(shù)列{b_n}也是等差數(shù)列。

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