Question

箱中裝有12張大小、質量一樣的卡片，每張卡片正面分別標有1到12中的一個號碼，正面號碼為n的卡片反面標的數(shù)字是n²-9n+22，卡片正反面用顏色區(qū)分．
（I）如果任意取出一張卡片，求正面數(shù)字不大于反面數(shù)字的概率；
（II）如果有放回地抽取三張卡片，用X表示三張中正面數(shù)字不大于反面數(shù)字的張數(shù)求X的分布列和數(shù)學期望．
（III）如果同時取出兩張卡片，在正面數(shù)學無3的倍數(shù)的情況下，試求他們反面數(shù)字相同的概率．

Answer 1

分析：（1）由不等式n≤n²-9n+22，求出滿足條件的n，然后根據(jù)古典概型的概率公式進行計算即可；
（2）由題意，X的可能取值為0，1，2，3，然后利用n次獨立重復試驗中恰好發(fā)生k次的概率公式求出相應的概率，得到分布列，而X～B（3，

3

4

），從而求出X的數(shù)學期望；
（3）當他們反面數(shù)字相同時，設取出的是第m號卡片和第n號卡片（m≠n）根據(jù)m²-9m+22=n²-9n+22．求得m+n=9，從而得到符合條件的取法，記“同時取出兩張卡片，正面數(shù)字無3的倍數(shù)”為事件A，記“同時取出兩張卡片，反面數(shù)字相同”為事件B．求出P（A），P（AB），從而P(B/A)=

P(AB)

P(A)

．

解答：解：（1）由不等式n≤n²-9n+22，得n≤5-

3

或n≥5+

3

．
由于n∈{1，2，…，12}，所以n=1，2，3，7，8，9，10，11，12．
即共有9張卡片正面數(shù)字不大于反面數(shù)字．
故所有的概率為

9

12

=

3

4

．
（2）由題意，X的可能取值為0，1，2，3，則P(X=0)=

C

0 3

(

1

4

)3=

1

64

，
P(X=1)=

C

1 3

(

1

4

)2(

3

4

) =

9

64

，P(X=2)=

C

2 3

(

1

4

)(

3

4

)2= 

27

64

，P(X=3)=

C

3 3

(

3

4

)3=

27

64

，
故X的分布列為

X	0	1	2	3
P	1 64	9 64	27 64	27 64

X～B（3，

3

4

）．所以X的數(shù)學期望EX=3×

3

4

=

9

4

．
（3）當他們反面數(shù)字相同時，設取出的是第m號卡片和第n號卡片（m≠n）．
由m²-9m+22=n²-9n+22．得9（n-m）=n²-m²，由m≠n，得m+n=9．
故符合條件的取法為1，8；2，7；3，6；4，5，舍掉3，6．
記“同時取出兩張卡片，正面數(shù)字無3的倍數(shù)”為事件A，記“同時取出兩張卡片，反面數(shù)字相同”為事件B．
得P(A)=

C 2 8

C 2 12

，P(AB)=

3

C 2 12

，
所以P(B/A)=

P(AB)

P(A)

=

3

C 2 8

=

3

28

．

點評：本題主要考查了n次獨立重復試驗中恰好發(fā)生k次的概率，以及離散型隨機變量的期望和條件概率，同時考查了計算能力，屬于中檔題．