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        1. 精英家教網(wǎng)如圖,三棱柱ABC-A1B1C1的底面是邊長為2的正三角形且側(cè)棱垂直于底面,側(cè)棱長是
          3
          ,D是AC的中點(diǎn).
          (1)求證:B1C∥平面A1BD;
          (2)求二面角A1-BD-A的大;
          (3)求直線AB1與平面A1BD所成的角的正弦值.
          分析:(1)由題意及題中P為AB1中點(diǎn)和D為AC中點(diǎn),中點(diǎn)這樣信息,得到線線PD∥B1C平行,在利用PD∥平面A1BD線面平行,利用線面平行的判定定理得到線面B1C∥平面A1BD平行;
          (2)有正三棱柱及二面角平面角的定義,找到二面角的平面角,然后再三角形中解出二面角的大小;
          (3)利用條件及上兩問的證題過成找到∠APM就是直線A1B與平面A1BD所成的線面角,然后再三角形中解出即可.
          解答:精英家教網(wǎng)解:(1)設(shè)AB1與A1B相交于點(diǎn)P,連接PD,則P為AB1中點(diǎn),
          ∵D為AC中點(diǎn),∴PD∥B1C.
          又∵PD∥平面A1BD,
          ∴B1C∥平面A1BD.

          (2)∵正三棱住ABC-A1B1C1,
          ∴AA1⊥底面ABC.
          又∵BD⊥AC
          ∴A1D⊥BD
          ∴∠A1DA就是二面角A1-BD-A的平面角.
          ∵AA1=
          3
          ,AD=
          1
          2
          AC=1
          ∴tan∠A1DA=
          A1A
          AD
          =
          3

          ∴∠A1DA=
          π
          3
          ,即二面角A1-BD-A的大小是
          π
          3


          (3)由(2)作AM⊥A1D,M為垂足.
          ∵BD⊥AC,平面A1ACC1⊥平面ABC,平面A1ACC1∩平面ABC=AC
          ∴BD⊥平面A1ACC1,
          ∵AM?平面A1ACC1,
          ∴BD⊥AM
          ∵A1D∩BD=D
          ∴AM⊥平面A1DB,連接MP,則∠APM就是直線A1B與平面A1BD所成的角.
          ∵AA1=
          3
          ,AD=1,∴在Rt△AA1D中,∠A1DA=
          π
          3

          ∴AM=1×sin60°=
          3
          2
          ,AP=AB1=
          7
          2

          ∴sin∠APM=
          AM
          AP
          =
          3
          2
          7
          2
          =
          21
          7

          ∴直線AB1與平面A1BD所成的角的正弦值為
          21
          7
          點(diǎn)評:此題重點(diǎn)考查了線面平行的判定定理,線面角的概念及二面角的平面角的定義,還考查了在三角形中求解角的大小,及學(xué)生的空間想象能力及計算能力.
          練習(xí)冊系列答案
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          如圖,三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ACB=90°,CC1⊥平面ABC,AC=BC=CC1=1,則直線A1C1和平面ACB1的距離等于
           
          精英家教網(wǎng)

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          (2)設(shè)B1C與平面BCD所成的角的大小為30°,求二面角A-BD-C.

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          12
          AA1,D是棱AA1的中點(diǎn).
          (Ⅰ)證明:平面BDC1⊥平面BDC
          (Ⅱ)平面BDC1分此棱柱為兩部分,求這兩部分體積的比.

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          (2)證明:A1C∥平面AB1D.

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          (2012•大連二模)如圖,三棱柱ABC-A′B′C′,cc′=
          2
          ,BC′=
          2
          ,BC=2,△ABC是以BC為底邊的等腰三角形,平面ABC⊥平面BCC′B′,E、F分別為棱AB、CC′的中點(diǎn).
          (I)求證:EF∥平面A′BC′;
          (Ⅱ)若AC≤
          2
          ,且EF與平面ACC'A'所成的角的余弦為
          7
          3
          ,求二面角C-AA'-B的大。

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          同步練習(xí)冊答案