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        1. 精英家教網 > 高中數學 > 題目詳情
          (2001•江西)某電廠冷卻塔的外形是如圖所示雙曲線的一部分繞其中軸(即雙曲線的虛軸)旋轉所成的曲面,其中A、A′是雙曲線的頂點,C、C′是冷卻塔上口直徑的兩個端點,B、B′是下底直徑的兩個端點,已知AA′=14m,CC′=18m,BB′=22m,塔高20m.
          (Ⅰ)建立坐標系并寫出該雙曲線方程;
          (Ⅱ)求冷卻塔的容積(精確到10m3,塔壁厚度不計,π取3.14).
          分析:(I)建立直角坐標系xOy,AA′在x軸上,AA′的中點為坐標原點O,CC′與BB′平行于x軸,設出B、C的坐標,利用B、C在雙曲線上,塔高20m,可得雙曲線的標準方程;
          (II)利用定積分知識,可求冷卻塔的容積.
          解答:解:(I)如圖建立直角坐標系xOy,AA′在x軸上,AA′的中點為坐標原點O,CC′與BB′平行于x軸.
          設雙曲線方程為
          x2
          a2
          -
          y2
          b2
          =1(a>0,b>0)
          ,則a=
          1
          2
          AA′=7

          又設B(11,y1),C(9,y2),
          因為點B、C在雙曲線上,所以有
          112
          72
          -
          y
          2
          1
          b2
          =1
          ,①
          92
          72
          -
          y
          2
          2
          b2
          =1
          ,②
          由題意知y2-y1=20.③
          由①、②、③得y1=-12,y2=8,b=7
          2

          故雙曲線方程為
          x2
          49
          -
          y2
          98
          =1
          ;
          (II)由雙曲線方程得x2=
          1
          2
          y2+49

          設冷卻塔的容積為V(m3),則V=π
          y2
          y1
          x2dy=π
          8
          -12
          (
          1
          2
          y2+49)dy
          =π(
          1
          6
          y3+49y)
          |
          8
          -12
          ,
          ∴V≈4.25×103(m3).
          答:冷卻塔的容積為4.25×103(m3).
          點評:本小題考查選擇適當的坐標系建立曲線方程和解方程組等基礎知識,考查應用所學積分知識、思想和方法解決實際問題的能力.
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