Question

若橢圓E₁：和橢圓E₂：滿足，則稱這兩個橢圓相似，m稱為其相似比．
（1）求經(jīng)過點(diǎn)，且與橢圓相似的橢圓方程；
（2）設(shè)過原點(diǎn)的一條射線l分別與（1）中的兩個橢圓交于A、B兩點(diǎn)（其中點(diǎn)A在線段OB上），
求的最大值和最小值；
（3）對于真命題“過原點(diǎn)的一條射線分別與相似比為2的兩個橢圓C₁：和C₂：交于A、B兩點(diǎn)，P為線段AB上的一點(diǎn)，若|OA|、|OP|、|OB|成等差數(shù)列，則點(diǎn)P的軌跡方程為”．請用推廣或類比的方法提出類似的一個真命題，并給予證明．

Answer 1

【答案】分析：（1）直接根據(jù)定義得到有解得即可得到與橢圓相似的橢圓方程；
（2）先對射線與y軸重合時求出結(jié)論；再對射線不與坐標(biāo)軸重合時，由橢圓的對稱性，僅考查A、B在第一象限的情形，聯(lián)立直線與兩個橢圓方程分別求出線段的長度，再結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性即可求出的最大值和最小值；（整理過程需小心避免出錯）．
（3）分析出命題的基本條件為：橢圓、、m=2、等差，類比著寫：①雙曲線或拋物線； ②a，b或p； ③相似比為m；④等比，再加以證明即可．
解答：解：（1）設(shè)所求的橢圓方程為，則有解得
∴所要求的橢圓方程為
（2）①當(dāng)射線與y軸重合時，=
②當(dāng)射線不與坐標(biāo)軸重合時，由橢圓的對稱性，我們僅考察A、B在第一象限的情形．
設(shè)其方程為y=kx（k≥0，x＞0），設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
由解得

由解得，
∴
∴=
令則由知
∴=
記，則f（t）在上是增函數(shù)，∴，
∴
由①②知，的最大值為，的最小值為．
（3）本題根據(jù)學(xué)生提出和解決問題的質(zhì)量評分
命題結(jié)構(gòu)：條件⇒結(jié)論
條件由四部分組成：

其中基本條件為：橢圓、、m=2、等差，
得分條件為：①雙曲線或拋物線； ②a，b或p； ③相似比為m；④等比．
例1：①雙曲線+②a，b+③相似比為m+等差
過原點(diǎn)的一條射線分別與兩條雙曲線C₁：和C₂：（m＞0）交于A、B兩點(diǎn)，P為線段AB上的一點(diǎn)，若|OA|、|OP|、|OB|成等差數(shù)列，則點(diǎn)P的軌跡方程為
證明：∵射線l與雙曲線有交點(diǎn)，不妨設(shè)其斜率為k，顯然．
設(shè)射線l的方程為y=kx，設(shè)點(diǎn)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）、p（x，y）
由解得  ，
由解得  
由P點(diǎn)在射線l上，且2|OP|=|OA|+|OB|得即
得
例2：①拋物線+②p+③相似比為m+等差
過原點(diǎn)的一條射線分別與兩條拋物線C₁：y²=2px（p＞0）和C₂：y²=2mpx（m＞0）相交于異于原點(diǎn)的A、B兩點(diǎn)，P為線段AB上的一點(diǎn)，若|OA|、|OP|、|OB|成等差數(shù)列，則點(diǎn)P的軌跡方程為y²=（1+m）px
證明：∵射線l與拋物線有異于原點(diǎn)的交點(diǎn)，不妨設(shè)其斜率為k．
設(shè)射線l的方程為y=kx，設(shè)點(diǎn)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）、p（x，y）
由解得  ，
由解得  
由P點(diǎn)在射線l上，且2|OP|=|OA|+|OB|得即
得 y²=（1+m）px
點(diǎn)評：本題綜合考查直線和橢圓的位置關(guān)系，難度較大，解題時要仔細(xì)審題，注意公式的靈活運(yùn)用．