Question

【題目】已知是定義在上的奇函數(shù)，且為偶函數(shù)，對于函數(shù)有下列幾種描述：

①是周期函數(shù)； ②是它的一條對稱軸；

③是它圖象的一個對稱中心； ④當時，它一定取最大值；

其中描述正確的是__________．

Answer 1

【答案】①③

【解析】分析：本題函數(shù)的性質，先對已知是定義在的奇函數(shù)，且為偶函數(shù)用定義轉化為恒等式，再由兩個恒等式進行合理變形得出與四個命題有關的結論，通過推理證得①③正確.

詳解： 因為是定義在上的奇函數(shù)，且為偶函數(shù)，

所以，①

，②

，③

由③知函數(shù)有對稱軸，

由②③得，

令，則，

，

故有，

兩者聯(lián)立得，

可見函數(shù)是周期函數(shù)，且周期為，

由①知：，代入上式得：，

由此式可知：函數(shù)有對稱中心，由此證得①③是正確命題，

所以當時，它取最大值或最小值，也可能不是最值，故④錯誤，故答案為①③.