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        1. 已知圓M的圓心M在y軸上,半徑為1.直線l:y=2x+2被圓M所截得的弦長(zhǎng)為
          4
          5
          5
          ,且圓心M在直線l的下方.
          (1)求圓M的方程;
          (2)設(shè)A(t,0),B(t+5,0)(-4≤t≤-1),若AC,BC是圓M的切線,求△ABC面積的最小值.
          分析:(1)設(shè)圓心M(0,b),利用M到l:y=2x+2的距離,結(jié)合直線l被圓M所截得的弦長(zhǎng)為
          4
          5
          5
          ,求出M坐標(biāo),然后求圓M的方程;
          (2)當(dāng)直線AC,BC的斜率都存在時(shí),求出設(shè)AC斜率,BC斜率為k2,推出直線AC、直線BC的方程,求出△ABC的面積S的表達(dá)式,從而求出面積的最小值,再考慮斜率不存在時(shí)的情形,從而得解.
          解答:解:(1)設(shè)M(0,b)由題設(shè)知,M到直線l的距離是
          1-(
          2
          5
          5
          )
          2
          =
          5
          5
          …(2分)
          所以
          |-b+2|
          5
          =
          5
          5
          ,解得b=1或b=3…(4分)
          因?yàn)閳A心M在直線l的下方,所以b=1,
          即所求圓M的方程為x2+(y-1)2=1…(6分)
          (2)當(dāng)直線AC,BC的斜率都存在,即-4<t<-1時(shí)
          直線AC的斜率kAC=tan2∠MAO=
          -
          2
          t
          1-
          1
          t2
          =
          -2t
          t2-1

          同理直線BC的斜率kBC=
          -2(t+5)
          (t+5)2-1
          …(8分)
          所以直線AC的方程為y=
          -2t
          t2-1
          (x-t),
          直線BC的方程為y=
          -2(t+5)
          (t+5)2-1
          (x-t-5)…(10分)
          解方程組
          y=
          -2t
          t2-1
          (x-t)
          y=
          -2(t+5)
          (t+5)2-1
          (x-t-5)

          得x=
          2t+5
          t2+5t+1
          ,y=
          2t2+10t
          t2+5t+1
          …(12分)
          所以y=
          2t2+10t
          t2+5t+1
          =2-
          2
          t2+5t+1

          因?yàn)?4≤t≤-1
          所以-
          21
          4
          ≤t2+5t+1<-3
          所以
          50
          21
          ≤y<
          8
          3

          故當(dāng)t=-
          5
          2
          時(shí),△ABC的面積取最小值
          1
          2
          ×5×
          50
          21
          =
          125
          21
          .…(14分)
          當(dāng)直線AC,BC的斜率有一個(gè)不存在時(shí),即t=-4或t=-1時(shí),易求得△ABC的面積為
          20
          3

          綜上,當(dāng)t=-
          5
          2
          時(shí),△ABC的面積的最小值為
          125
          21
          .…(16分)
          點(diǎn)評(píng):本題以圓的弦長(zhǎng)為載體,考查直線與圓的位置關(guān)系,三角形面積的最值的求法,考查計(jì)算能力.
          練習(xí)冊(cè)系列答案
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          (2010•湖北模擬)已知圓M的圓心M在x軸上,半徑為1,直線l:y=
          4
          3
          x-
          1
          2
          ,被圓M所截的弦長(zhǎng)為
          3
          ,且圓心M在直線l的下方.
          (I)求圓M的方程;
          (II)設(shè)A(0,t),B(0,t+6)(-5≤t≤-2),若圓M是△ABC的內(nèi)切圓,求△ABC的面積S的最大值和最小值.

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          (本小題滿分16分)

              已知圓M的圓心M在y軸上,半徑為1.直線被圓M所截得的弦長(zhǎng)為,且圓心M在直線的下方.

             (1)求圓M的方程;

             (2)設(shè)若AC,BC是圓M的切線,求面積的最小值.

           

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          已知圓M的圓心M在y軸上,半徑為1.直線l:y=2x+2被圓M所截得的弦長(zhǎng)為,且圓心M在直線l的下方.
          (1)求圓M的方程;
          (2)設(shè)A(t,0),B(t+5,0)(-4≤t≤-1),若AC,BC是圓M的切線,求△ABC面積的最小值.

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          已知圓M的圓心M在y軸上,半徑為1.直線l:y=2x+2被圓M所截得的弦長(zhǎng)為,且圓心M在直線l的下方.
          (1)求圓M的方程;
          (2)設(shè)A(t,0),B(t+5,0)(-4≤t≤-1),若AC,BC是圓M的切線,求△ABC面積的最小值.

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