Question

等比數(shù)列{a_n}中，已知a₁=2，a₄=16．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若a₃，a₅分別為等差數(shù)列{b_n}的第3項(xiàng)和第5項(xiàng)，試求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)之和S_n及S_n的最小值．

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)a₁=2，a₄=16求q，進(jìn)而根據(jù)等比數(shù)列的求和公式，求得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．
（2）先根據(jù)（1）中求得的數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式求出a₃，a₅的值，再根據(jù)a₃，a₅分別為等差數(shù)列{b_n}的第3項(xiàng)和第5項(xiàng)，求出b₁和d，進(jìn)而根據(jù)等差數(shù)列的求和公式，求得數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式，再利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和是n的二次函數(shù)，求出最小值．

解答：解：（1）設(shè){a_n}的公比為q，
依題意有：16=2•q3，
∴q=2
∴a_n=2×2^n-1
（2）由（1）有a₃=8，a₅=32
∴b₃=8，b₅=32
設(shè){b_n}的公差為d，
∴b₁+2d=8，b₁+4d=32，∴b₁=-16，d=12
∴b_n=-16+12（n-1）=12n-28
∴S_n=

(b1+b2)n

2

=

(-16+12n-28 )n

2

=6n²-22n
=6(n-

11

6

)2-

121

6

，n∈N^*
于是當(dāng)n=2時(shí)S_n的最小值S₂，等于-20

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了等差，等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，以及等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，屬基礎(chǔ)題．