Question

某宇宙飛船的運(yùn)行軌道是以地球中心F為焦點(diǎn)的橢圓，測(cè)得近地點(diǎn)A距離地面m（km），遠(yuǎn)地點(diǎn)B距離地面n（km），地球半徑為R（km），關(guān)于這個(gè)橢圓有以下四種說(shuō)法：
①焦距長(zhǎng)為n-m；②短軸長(zhǎng)為

(m+R)(n+R)

；③離心率e=

n-m

m+n+2R

；④若以AB方向?yàn)閤軸正方向，F(xiàn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，則與F對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)線方程為x=-

2(m+R)(n+R)

(n-m)

，其中正確的序號(hào)為

 

．

Answer 1

分析：由題意，n+R=a+c，m+R=a-c，
①焦距長(zhǎng)為n-m，直接求n-m的表達(dá)式即可；
②短軸長(zhǎng)為

(m+R)(n+R)

，求出a，c，計(jì)算出b，進(jìn)行驗(yàn)證；
③離心率e=

n-m

m+n+2R

，求出a，c，計(jì)算出e進(jìn)行驗(yàn)證；
④若以AB方向?yàn)閤軸正方向，F(xiàn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，則與F對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)線方程為x=-

2(m+R)(n+R)

(n-m)

，在規(guī)定的坐標(biāo)系下求出其準(zhǔn)線方程對(duì)照即可．

解答：解：由題意n+R=a+c，m+R=a-c，
①可解得n-m=2c，故①正確；
②由n+R=a+c，m+R=a-c，得a=

m+n+2R

2

，c=

n-m

2

∴b=

a2-c2

=

(m+R)(n+R)

，故此命題不對(duì)；
③由②知e=

n-m

m+n+2R

故此命題正確；
④由于左焦點(diǎn)在原點(diǎn)，故左準(zhǔn)線方程為x=c-

a2

c

=-

b2

c

=-

2(m+R)(n+R)

(n-m)

，此命題正確．
綜上知①③④正確
故答案為①③④

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的應(yīng)用，綜合考查了橢圓的長(zhǎng)軸、短軸、以及離心率和準(zhǔn)線等性質(zhì)，本題建立的坐標(biāo)系原點(diǎn)在焦點(diǎn)上，這無(wú)形中給求準(zhǔn)線方程帶來(lái)了一個(gè)小問(wèn)題，要注意通過(guò)平移的相關(guān)規(guī)則得出正確的答案．