Question

已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+?） （x∈R，A＞0，ω＞0，|?|＜

π

2

）的部分圖象如圖所示，
（Ⅰ）試確定f（x）的解析式；
（Ⅱ）若f(

α

2π

)=

1

2

，求cos（

2π

3

-α）的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先根據(jù)圖象得到A=2，

T

4

=

5

6

-

1

3

=

1

2

，求出ω；再把點P（

1

3

，2）代入結(jié)合|?|＜

π

2

即可求出φ，進而得到f（x）的解析式；
（Ⅱ）先根據(jù)f（

a

2π

）=

1

2

，得到sin（

α

2

+

π

6

）=

1

4

；再結(jié)合cos（

2π

3

-a）=cos[π-2（

π

6

+

a

2

）]=-cos2（

π

6

+

a

2

）以及二倍角的余弦公式即可解題．

解答：解：（Ⅰ）由圖象可知A=2，

T

4

=

5

6

-

1

3

=

1

2

，
∴T=2，ω=

2π

T

=π將點P（

1

3

，2）代入y=2sin（ωx+?），
得 sin（

π

3

+?）=1，又|?|＜

π

2

，所以?=

π

6

．
故所求解析式為f（x）=2sin（πx+

π

6

） （x∈R）                       6分
（Ⅱ）∵f（

a

2π

）=

1

2

，∴2sin（

a

2

+

π

6

）=

1

2

，即，sin（

α

2

+

π

6

）=

1

4

∴cos（

2π

3

-a）=cos[π-2（

π

6

+

a

2

）]=-cos2（

π

6

+

a

2

）
=2sin²（

π

6

+

a

2

）-1=-

7

8

…12分．

點評：本題主要考查由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式以及三角函數(shù)的恒等變換及化簡求值．解決第二問的關(guān)鍵在于得到cos（

2π

3

-a）=cos[π-2（

π

6

+

a

2

）]=-cos2（

π

6

+

a

2

）．