Question

一束光線通過點(diǎn)M（25，18）射到x軸上，被反射到圓C：x²+（y-7）²=25上．
（1）求通過圓心的反射光線方程；
（2）求在x軸上入射點(diǎn)A的活動(dòng)范圍．

Answer 1

分析：（1）求出M關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)N（25，-18），由光的性質(zhì)可知，過圓心的反射光線所在的直線就是過N、C兩點(diǎn)的直線，即為所求．
（2）設(shè)過N的直線方程為y+18=k（x-25），利用它為圓C的切線，由

|-7-25k-18|

1+k2

=5，即可求在x軸上入射點(diǎn)A的活動(dòng)范圍．

解答：解：∵圓心C（0，7），半徑r=5，
（1）M關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)N（25，-18），
由光的性質(zhì)可知，過圓心的反射光線所在的直線就是過N、C兩點(diǎn)的直線，
則過N、C的直線方程x+y-7=0，即為所求．
（2）設(shè)過N的直線方程為y+18=k（x-25），
即kx-y-25k-18=0，當(dāng)它為圓C的切線時(shí)，
由

|-7-25k-18|

1+k2

=5⇒k=-

4

3

或k=-

3

4

．
∴過N與圓C相切的直線為y+18=-

4

3

（x-25）或y+18=-

3

4

（x-25），令y=0，得x=

23

2

或x=1，
∵A點(diǎn)活動(dòng)范圍在兩切線與x軸的兩交點(diǎn)之間，
∴A點(diǎn)在x軸上的活動(dòng)范圍（1，

23

2

）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查對(duì)稱點(diǎn)的求法，點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用，直線與圓相切故選的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．