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        1. (本小題滿分11分)對于定義域為D的函數(shù),如果存在區(qū)間,同時滿足:

          內是單調函數(shù);

          ②當定義域是時,的值域也是

          則稱是該函數(shù)的“和諧區(qū)間”.

          (1)證明:是函數(shù)的一個“和諧區(qū)間”.

          (2)求證:函數(shù)不存在“和諧區(qū)間”.

          (3)已知函數(shù))有“和諧區(qū)間”,當變化時,求出的最大值.

           

          【答案】

           

          解:(1)區(qū)間的一個“和諧區(qū)間”.

          (2)函數(shù)不存在“和諧區(qū)間”.

          (3)當時,取最大值.

          【解析】本試題主要是結合了函數(shù)的單調性和函數(shù)的定義域和值域的有關系概念,對于新定義“和諧區(qū)間”的理解和靈活的運用。

          (1)在區(qū)間上單調遞增,并且滿足第二點又,值域為,故得到結論。

          (2)假設存在一個區(qū)間滿足題意,利用反比列函數(shù)的性質可知,沒有和諧區(qū)間。

          (3)根據(jù)已知條件可知,函數(shù)存在和諧區(qū)間,那么可以設出區(qū)間,再分析函數(shù)的單調性,得到定義域和值域的關系,進而得到結論。

          解:(1)在區(qū)間上單調遞增.

          ,值域為,

          區(qū)間的一個“和諧區(qū)間”.…………2分

          (2)設是已知函數(shù)定義域的子集.,故函數(shù)上單調遞增.

          是已知函數(shù)的“和諧區(qū)間”,則

          是方程的同號的相異實數(shù)根.

          無實數(shù)根,函數(shù)不存在“和諧區(qū)間”.………………5分

          (3)設是已知函數(shù)定義域的子集.,故函數(shù)上單調遞增.

          是已知函數(shù)的“和諧區(qū)間”,則

          是方程,即的同號的相異實數(shù)根.

          ,,同號,只須,即時,已知函數(shù)有“和諧區(qū)間”,,

          時,取最大值………………11分

           

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          ;
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          (2)試用數(shù)學歸納法證明你在第(1)小題得到的不等式.

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