Question

已知是二次函數(shù)，不等式的解集是，且在點(diǎn)處的切線與直線平行．

(1)求的解析式；

(2)是否存在t∈N*，使得方程在區(qū)間內(nèi)有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根？

若存在，求出t的值；若不存在，說(shuō)明理由．

 

Answer 1

【答案】

（1）.

（2）存在唯一的自然數(shù)，使得方程在區(qū)間內(nèi)有且只有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根.

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)是二次函數(shù)，及不等式的解集是，

可設(shè)，. 再根據(jù)函數(shù)在切點(diǎn)的斜率就是該點(diǎn)處的導(dǎo)函數(shù)值，可建立

方程，解得.

（2）首先由（1）知，方程等價(jià)于方程.

構(gòu)造函數(shù)，通過(guò)“求導(dǎo)數(shù)、求駐點(diǎn)、討論導(dǎo)數(shù)值的正負(fù)”明確函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，通過(guò)計(jì)算，

認(rèn)識(shí)方程有實(shí)根的情況.

試題解析：（1）∵是二次函數(shù)，不等式的解集是，

∴可設(shè)，.

∴. 2分

∵函數(shù)在點(diǎn)處的切線與直線平行，

∴.

∴，解得.

∴. 5分

（2）由（1）知，方程等價(jià)于方程 6分

設(shè)，

則. 7分

當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增. 9分

∵，

∴方程在區(qū)間，內(nèi)分別有唯一實(shí)數(shù)根，在區(qū)間

內(nèi)沒(méi)有實(shí)數(shù)根. 12分

∴存在唯一的自然數(shù)，使得方程

在區(qū)間內(nèi)有且只有兩個(gè)不等的根. 13分

考點(diǎn)：二次函數(shù)，導(dǎo)數(shù)的幾何意義，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性.