Question

如圖，在直三棱柱中，，，分別為棱的中點(diǎn)，為棱上的點(diǎn)，二面角為．

（I）證明：；

（II）求的長(zhǎng)，并求點(diǎn)到平面的距離．

Answer 1

本小題主要考查空間中的線面關(guān)系、解三角形等基礎(chǔ)知識(shí)，考查空間想象能力與思維能力。

（Ⅰ）證明：連結(jié)CD，

∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱。

∴CC₁⊥平面ABC，

∴CD為C₁D在平面ABC內(nèi)的射影，

∵△ABC中，AC=BC，D為AB中點(diǎn)。

∴AB⊥CD，

∴AB⊥C₁D，

∵A₁B₁∥AB，

∴A₁B₁⊥C₁D。

（Ⅱ）解法一：過(guò)點(diǎn)A作CE的平行線，交ED的延長(zhǎng)線于F，連結(jié)MF.

∵D、E分別為AB、BC的中點(diǎn)。

∴DE∥AC。

又∵AF∥CE，CE⊥AC，

∴AF⊥DE。

∵MA⊥平面ABC，

∴AF為MF在平面ABC內(nèi)的射影。

∴MF⊥DE，

∴∠MFA為二面角M-DE-A的平面角，∠MFA＝30°。

在Rt△MAF中，AF＝,

∴AM=.    

作AG⊥MF，垂足為G。

∵M(jìn)F⊥DE,AF⊥DE,

∴DE⊥平面AMF,

∴平面MDE⊥平面AMF.

∴AG⊥平面MDE

在Rt△GAF中，∠GFA＝30°，AF=,

∴AG=,即A到平面MDE的距離為。

∵CA∥DE,∴CA∥平面MDE,

∴C到平面MDE的距離與A到平面MDE的距離相等，為。

解法二：過(guò)點(diǎn)A作CE的平行線，交ED的延長(zhǎng)線于F，連結(jié)MF，

∵D、E分別為AB、CB的中點(diǎn)，

∴DE∥AC,

又∵AF∥CE,CE⊥AC,

∴AF⊥DE,

∵MA⊥平面ABC,

∴AF為MF在平面ABC內(nèi)的射影，

∴MF⊥DE,

∴∠MFA為二面角M-DE-A的平面角，∠MFA＝30°。

在Rt△MAF中，AF=BC=,

∴AM=.

設(shè)C到平面MDE的距離為h。

∵,

∴,

,

,

，

∴h=，即C到平面MDE的距離為。