Question

已知函數(shù)f（x）=e^-x（cosx+sinx），將滿足f'（x）=0的所有正數(shù)x從小到大排成數(shù)列{x_n}．
（Ⅰ）證明數(shù)列{f{x_n}}為等比數(shù)列；
（Ⅱ）記S_n是數(shù)列{x_nf{x_n}}的前n項(xiàng)和，求．

Answer 1

解：（Ⅰ）證明：f'（x）=-e^-x（cosx+sinx）+e^-x（-sinx+cosx）=-2e^-xsinx．
由f'（x）=0，得-2e^-xsinx=0．
解出x=nπ，n為整數(shù)，從而x_n=nπ，n=1，2，3，f（x_n）=（-1）ⁿe^-nπ.．
所以數(shù)列{f{x_n}}是公比q=-e^-π的等比數(shù)列，且首項(xiàng)f（x₁）=q．
（Ⅱ）解：S_n=x₁f（x₁）+x₂f（x₂）++x_nf（x_n）=πq（1+2q++nq^n-1），
qS_n=πq（q+2q²++nqⁿ），
S_n-qS_n=πq（1+2q²++q^n-1-nqⁿ）
=，
從而
=
=
=．
因?yàn)?img class='latex' src='http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/538855.png' />，
所以．
分析：（1）先求導(dǎo)數(shù)，解出f'（x）=0的所有正數(shù)解x，求得數(shù)列{x_n}．從而可證明數(shù)列{f{x_n}}為等比數(shù)列．
（2）利用錯(cuò)位相減法求得Sn，從而求得，進(jìn)而得解．
點(diǎn)評：本小題主要考查．函數(shù)求導(dǎo)，等比數(shù)列證明，錯(cuò)位相減的求和方法，及極限的求解等知識．是對知識的綜合性考查，能力要求較高．