Question

已知定義在[1，4]上的函數(shù)f（x）=x²-2bx+（b≥1），
（ I）求f（x）的最小值g（b）；
（ II）求g（b）的最大值M．

Answer 1

解：f（x）=（x-b）²-b²+的對(duì)稱軸為直線x=b（b≥1），
（ I）①當(dāng)1≤b≤4時(shí)，g（b）=f（b）=-b²+；
②當(dāng)b＞4時(shí)，g（b）=f（4）=16-，
綜上所述，f（x）的最小值g（b）=．
（ II）①當(dāng)1≤b≤4時(shí)，g（b）=-b²+=-（b-）²+，
∴當(dāng)b=1時(shí)，M=g（1）=-；
②當(dāng)b＞4時(shí)，g（b）=16-是減函數(shù)，∴g（b）＜16-×4=-15＜-，
綜上所述，g（b）的最大值M=-．
分析：（I）由已知中函數(shù)的解析式，可得f（x）=（x-b）²-b²+的對(duì)稱軸為直線x=b（b≥1），分當(dāng)1≤b≤4時(shí)，和b＞4時(shí)，兩種情況，分析函數(shù)在區(qū)間[1，4]上的單調(diào)性，可得f（x）的最小值g（b）；
（ II）結(jié)合（I）中所得g（b）的解析式，根據(jù)分段函數(shù)分段處理的原則，分別求出各段上函數(shù)的最大值，比照后可得g（b）的最大值M．
點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)，其中熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是解答本題的關(guān)鍵．