Question

已知函數(shù)f（x）定義域?yàn)椋?，+∞）且單調(diào)遞增，滿足f（4）=1，f（xy）=f（x）+f（y）
（Ⅰ）求f（1）的值；探究用f（x）和n表示f（xⁿ）的表達(dá)式（n∈N^*）；
（Ⅱ）若f（x）+f（x-3）≤1，求x的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）令x=1，y=4，可求得f（1）=0；再反復(fù)利用f（xy）=f（x）+f（y），即可求得f（xⁿ）的表達(dá)式（n∈N^*）；
（Ⅱ）利用f（4）=1與f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增的性質(zhì)，可由f（x）+f（x-3）≤1⇒

x(x-3)≤4 x-3＞0 x＞0

，解之即可．

解答：解：（ I）令x=1，y=4，則f（4）=f（1×4）=f（1）+f（4），
∴f（1）=0；
∵f（xy）=f（x）+f（y），
∴f（xⁿ）=f（

x•x…x

n

）=f（x）+f（

x•x…x

n-1

）=2f（x）+f（

x•x…x

n-2

）=…=nf（x）；
（ II）∵f（x）+f（x-3）=f[x（x-3）]≤1=f（4），
又f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
∴

x(x-3)≤4 x-3＞0 x＞0

，
即

-1≤x≤4 x＞3

，
解得3＜x≤4．
∴x的取值范圍為（3，4]．

點(diǎn)評：本題考查抽象函數(shù)及其應(yīng)用，著重考查賦值法及函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，考查解不等式組的能力，屬于中檔題．