Question

直線y=k（x-2）+4與曲線y=

4-x2

有兩個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為

(

3

4

，1]

．

Answer 1

分析：由直線方程的特點(diǎn)得到此直線恒過A（2，4），由曲線方程的特點(diǎn)得到曲線為一個(gè)半圓，在平面直角坐標(biāo)系中畫出相應(yīng)的圖形，根據(jù)直線與半圓有2個(gè)交點(diǎn)，取兩個(gè)特殊情況：當(dāng)直線與半圓相切，且切點(diǎn)在第二象限時(shí)，可得出圓心到直線的距離等于圓的半徑，即d=r，利用點(diǎn)到直線的距離公式列出關(guān)于k的方程，求出方程的解得到此時(shí)k的值；當(dāng)直線過點(diǎn)C時(shí)，將C的坐標(biāo)代入直線方程，得到關(guān)于k的方程，求出方程的解得到此時(shí)k的值，由圖象可得出滿足題意k的取值范圍．

解答：解：直線y=k（x-2）+4，
當(dāng)x=2時(shí)，y=4，可得此直線恒過A（2，4），
曲線y=

4-x2

為圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑為2的半圓，
根據(jù)題意作出相應(yīng)的圖形，如圖所示：

當(dāng)直線y=k（x-2）+4與半圓相切（切點(diǎn)在第二象限）時(shí)，圓心到直線的距離d=r，
∴

|4-2k|

1+k2

=2，即4k²-16k+16=4+4k²，
解得：k=

3

4

，
當(dāng)直線y=k（x-2）+4過點(diǎn)C時(shí)，將x=-2，y=0代入直線方程得：-4k+4=0，
解得：k=1，
則直線與曲線有2個(gè)交點(diǎn)時(shí)k的范圍為（

3

4

，1]．
故答案為：（

3

4

，1]

點(diǎn)評(píng)：此題考查了直線與圓的位置關(guān)系，利用了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，直線與圓的位置關(guān)系由d與r的大小來判斷（d為圓心到直線的距離，r為圓的半徑），當(dāng)d＞r時(shí)，直線與圓相離；當(dāng)d=r時(shí)，直線與圓相切；當(dāng)d＜r時(shí)，直線與圓相交．