Question

【題目】如圖，四棱錐中，四邊形為菱形，，，平面平面.

（1）求證：；

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）

【解析】

（1）取中點(diǎn)連結(jié)，，先證明平面BOP，即可證明；

（2）先證明兩兩垂直.以為原點(diǎn)，分別以的方向?yàn)?/span>軸，軸，軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系.求出平面與平面的法向量，代入公式即可得到結(jié)果.

（1）證明：取中點(diǎn)連結(jié)，，

，.

又四邊形為菱形，，故是正三角形，

又點(diǎn)是的中點(diǎn)，.

又，平面，

平面，又平面.

.

（2）解：，點(diǎn)是的中點(diǎn)，.

又平面平面.

平面平面，平面，

平面，又平面.

，.又，

所以兩兩垂直.

以為原點(diǎn)，分別以的方向?yàn)?/span>軸，軸，軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系.

設(shè)，則各點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，.

故，，，，

設(shè)，分別為平面，平面的一個(gè)法向量，

由可得，令，則，，故.

由可得，令，則，，故.

.

又由圖易知二面角是銳二面角，

所以二面角的余弦值是.