Question

把正整數(shù)列按如下規(guī)律排列：
1，
2，3，
4，5，6，7，
8，9，10，11，12，13，14，15，
…
問：（I）此表第n行的第一個數(shù)是多少？
（II）此表第n行的各個數(shù)之和是多少？
（III）是否存在n∈N^*，使得第n行起的連續(xù)10行的所有數(shù)之和為2²⁷-2¹³-120？若存在，求出n的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（I）觀察已知排列的數(shù)，依次正整數(shù)的個數(shù)是，1，2，4，8，…，分析得出是規(guī)律，根據(jù)規(guī)律求出第n行的正整數(shù)個數(shù)．
（II）由（I）得到第n行的第一個數(shù)，且此行一共有2 ^n-1個數(shù)，從而利用等差數(shù)列的求和公式即可計算第n行的各個數(shù)之和；
（III）對于存在性問題，可先假設(shè)存在，即存在n使得S′=2²⁷-2¹³-120，再利用（II）的結(jié)論，構(gòu)建等式，若出現(xiàn)矛盾，則說明假設(shè)不成立，即不存在；否則存在．

解答：解：（I）由已知得出每行的正整數(shù)的個數(shù)是1，2，4，8，…，其規(guī)律：
1=2^1-1，
2=2^2-1，
4=2^3-1，
8=2^4-1，
…，
由此得出第n行的正整數(shù)個數(shù)為：2^n-1．
（II）由（I）得到第n行的第一個數(shù)，且此行一共有2 ^n-1個數(shù)，從而利用等差數(shù)列的求和公式得：
第n行的各個數(shù)之和S=

2n-1(2n-1+2n-1)

2

=

3•22n-2-2n-1

2

=

3

8

•4n-

1

4

•2n…（5分）
（III）第n行起的連續(xù)10行的所有數(shù)之和S′=

3

8

•4n(1+4+…49)-

1

4

•2n(1+2+…+29)
=2^n-2（2ⁿ⁺¹⁹-2^n-1-1023），…（7分）
又2²⁷-2¹³-120=2³（2²⁴-2¹⁰-15）
若存在n使得S′=2²⁷-2¹³-120，
則2^n-2（2ⁿ⁺¹⁹-2^n-1-1023）=2³（2²⁴-2¹⁰-15）…（*）
所以n-2≥3，所以n≥5．n=5時，（*）式成立，
n＞5時由（*）可得2^n-5（2ⁿ⁺¹⁹-2^n-1-1023）=2²⁴-2¹⁰-15，
此等式左邊偶數(shù)右邊奇數(shù)，不成立．
所以滿足條件的n=5．…（10分）

點評：此題考查的知識點是等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合、圖形數(shù)字的變化類問題，同時考查學(xué)生分析歸納問題的能力，其關(guān)鍵是從每行的正整數(shù)個數(shù)1，2，，4，8，…這列數(shù)找出規(guī)律解答．