Question

設(shè)數(shù)列a_n的首項(xiàng)a1=

1

2

，且an+1=

1 2 an，n是偶數(shù) an+ 1 4 是奇數(shù)

，記bn=a2n-1-

1

4

，n=1，2，3…
（1）求a₂•a₃
（2）判斷數(shù)列{b_n}是否為等比數(shù)列，并證明你的結(jié)論；
（3）證明b₁+3b₂+5b₃+…+(2n-1)bn＜

3

2

．

Answer 1

分析：（1）利用數(shù)列遞推式，代入計(jì)算可得結(jié)論；
（2）{b_n}是等比數(shù)列，利用bn=a2n-1-

1

4

，n=1，2，3…，代入計(jì)算可可以證明；
（3）利用錯(cuò)位相減法求和，即可證得結(jié)論．

解答：（1）解：由題意，a₂=a₁+

1

4

=

3

4

，a₃=

1

2

a₂=

3

8

---------------------------------（4分）
（2）解：{b_n}是等比數(shù)列
證明如下：因?yàn)閎_n+1=a_2n+1-

1

4

=

1

2

a_2n-

1

4

=

1

2

（a_2n-1-

1

4

）=

1

2

b_n，（n∈N^*）
所以{b_n}是首項(xiàng)為

1

4

，公比為

1

2

的等比數(shù)列
所以bn=(

1

2

)n+1-----（8分）
（3）證明：（2n-1）b_n=(2n-1)•(

1

2

)n+1
令S_n=b₁+3b₂+5b₃+…+(2n-1)•(

1

2

)n+1=

1

4

+3•(

1

2

)3+…+(2n-1)•(

1

2

)n+1①，則

1

2

S_n=(

1

2

)3+3•(

1

2

)4+…+（2n-3）•(

1

2

)n+1+(2n-1)•(

1

2

)n+2②
①-②可得

1

2

S_n=

1

4

+2•(

1

2

)3+2•(

1

2

)4+…+2•(

1

2

)n+1-(2n-1)•(

1

2

)n+2
∴S_n=

3

2

-(

1

2

)n-1-(2n-1)•(

1

2

)n+1，顯然小于

3

2

---------（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列遞推式，考查等比數(shù)列的證明，考查錯(cuò)位相減法，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．