Question

(10分) 已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n＝10n－n²，(n∈N^*)．

(1)求a₁和a_n；

(2)記b_n＝|a_n|，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和．

 

Answer 1

【答案】

(1) a_n＝－2n＋11(n∈N^*)．(2) T_n＝

【解析】本題考查數(shù)列前n項(xiàng)和與通項(xiàng)公式的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想與計(jì)算能力

由S_n=10n-n²知S_n是關(guān)于n的無常數(shù)項(xiàng)的二次函數(shù)（n∈N^*），可知{a_n}為等差數(shù)列，求出a_n，然后再判斷哪些項(xiàng)為正，哪些項(xiàng)為負(fù)，然后求解T_n．

(1)∵S_n＝10n－n²，∴a₁＝S₁＝10－1＝9.

∵S_n＝10n－n²，當(dāng)n≥2，n∈N^*時(shí)，

S_n－1＝10(n－1)－(n－1)²＝10n－n²＋2n－11，

∴a_n＝S_n－S_n－1＝(10n－n²)－(10n－n²＋2n－11)

＝－2n＋11.

又n＝1時(shí)，a₁＝9＝－2×1＋11，符合上式．

則數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n＝－2n＋11(n∈N^*)．

(2)∵a_n＝－2n＋11，∴b_n＝|a_n|＝

設(shè)數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n，

n≤5時(shí)，T_n＝＝10n－n²；

n>5時(shí)T_n＝T₅＋＝25＋＝25＋(n－5)²＝n²－10n＋50，

∴數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n＝